针对您提出的问题，即孩子在私人医疗机构上班但未签订合同且未支付工资的情况，我明确给出以下结论和建议：

1. 关于未签订劳动合同的问题：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。如果用人单位未与劳动者签订书面劳动合同，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资作为赔偿。
   • 建议行动：首先，建议您与私人医疗机构进行沟通，明确要求签订书面劳动合同。如果医疗机构拒绝或拖延，您可以收集相关证据（如工作证、工资条、同事证言等）以证明劳动关系存在，并向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求医疗机构支付双倍工资。

2. 关于未支付工资的问题：

   • 法律背景：同样根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，用人单位应当按照劳动合同约定和国家规定，向劳动者及时足额支付劳动报酬。如果用人单位拖欠或未足额支付劳动报酬，劳动者有权要求用人单位支付拖欠的工资，并可能获得额外的经济补偿。
   • 建议行动：您应首先与医疗机构沟通，要求支付拖欠的工资。如果沟通无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求医疗机构支付拖欠的工资及可能的额外经济补偿。在申请劳动仲裁时，您需要提供相关证据来证明医疗机构拖欠工资的事实。

3. 关于证据收集与维权途径：

   • 证据收集：为了支持您的诉求，您需要收集尽可能多的证据来证明劳动关系存在以及医疗机构未签订合同和未支付工资的事实。这些证据可以包括工作证、工资条、银行转账记录、同事证言、工作邮件或聊天记录等。
   • 维权途径：除了与医疗机构直接沟通和向劳动监察部门投诉外，您还可以选择申请劳动仲裁或提起诉讼来维护自己的合法权益。劳动仲裁是一种相对快速且成本较低的解决劳动争议的方式，而诉讼则是一种更为正式和具有强制力的解决方式。

4. 关于可能的法律后果：

   • 对于医疗机构：如果医疗机构被认定存在未签订劳动合同和未支付工资的行为，它可能需要支付双倍工资、拖欠的工资及额外的经济补偿，并可能面临劳动监察部门的处罚。
   • 对于您孩子：通过合法途径维权，您孩子有望获得应得的工资和赔偿，同时维护自己的合法权益和尊严。

在处理此类问题时，请务必保持冷静和理性，依法维护自己的权益。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。