结论：第二次固定期限劳动合同到期后公司不续签，一般情况下公司需支付经济补偿，而非赔偿金；但在特定情况下，如符合签订无固定期限劳动合同的条件而公司拒绝签订，劳动者有权要求双倍赔偿（即赔偿金）。
一、通常情况下公司需支付经济补偿
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条和第四十六条的规定，劳动合同期满即终止，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件而劳动者不同意续订，否则用人单位应向劳动者支付经济补偿。经济补偿的计算标准如下：
- 计算方式：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资定义：指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 特殊情形：若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高不超过十二年。
示例：假设劳动者在公司工作了5年6个月，月工资为8000元，且未超过当地上年度职工月平均工资的三倍，则公司应支付的经济补偿为：5.5年 × 8000元/年 = 44000元。
二、特定情况下劳动者有权要求双倍赔偿（赔偿金）
符合签订无固定期限劳动合同的条件：
- 若劳动者满足连续工作满十年、初次实行劳动合同制度或国有企业改制时连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年、连续订立二次固定期限劳动合同等条件，且没有违反《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，此时劳动者提出或同意续订劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。
- 若公司违反此规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，则需自应当订立之日起向劳动者每月支付二倍的工资（即赔偿金）。
违法解除劳动合同：
- 虽然本问题主要讨论的是合同到期不续签的情况，但值得注意的是，如果用人单位在劳动合同期满后，未按照法律规定提前通知劳动者或未依法支付经济补偿金，就可能构成违法解除劳动合同。
- 在这种情况下，劳动者可以要求用人单位支付双倍的赔偿金（即经济补偿标准的二倍）。
三、建议与注意事项
- 劳动者：在遇到此类问题时，应及时了解自己的权益和应获得的补偿金额。若公司拒绝支付或支付不足，可向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
- 用人单位：应严格遵守相关法律法规，确保合法用工。在决定不续签劳动合同时，应提前与劳动者沟通并依法支付经济补偿，避免不必要的法律纠纷。
- 证据收集：无论是劳动者还是用人单位，在主张权益或进行抗辩时，都应妥善保存相关证据，如劳动合同、工资条、工作证等，以证明自己的主张。
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