结论前置：公司多次换签劳动合同后，劳动者在满足一定条件下有权要求签订无固定期限劳动合同。这一权利主要基于《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，下面我将从多个角度详细分析这一问题。
一、法律规定与条件
根据《劳动合同法》第十四条第二款的规定，当满足以下条件时，劳动者在续签劳动合同时有权提出签订无固定期限劳动合同：
连续订立二次固定期限劳动合同：这意味着劳动者已经与用人单位连续签订了两次固定期限的劳动合同，且每次合同都已到期并进行了续签。
劳动者无过失性辞退情形：劳动者不存在《劳动合同法》第三十九条规定的严重违反用人单位规章制度等过失性辞退情形，以及第四十条第一项（因病或非因工负伤不能胜任工作）和第二项（不能胜任工作且经培训或调整岗位后仍不能胜任）规定的情形。
劳动者提出或无反对意见：劳动者需要提出续订劳动合同或者同意续订劳动合同，并且没有主动提出要订立固定期限劳动合同。
二、多次换签劳动合同的影响
公司多次换签劳动合同，实际上是在不断续签固定期限劳动合同。如果劳动者已经连续签订了两次或更多次的固定期限劳动合同，并且满足上述条件，那么劳动者在续签时就有权要求签订无固定期限劳动合同。
三、特殊情况下的权利
除了上述条件外，还有两种特殊情况下劳动者也有权提出签订无固定期限劳动合同：
劳动者连续工作满十年：在同一用人单位连续工作满十年的劳动者，有权提出签订无固定期限劳动合同。
特定情形下的连续工作满十年：在用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，若劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，也应签订无固定期限劳动合同。
四、法律责任与协商原则
法律责任：如果用人单位在符合上述条件的情况下拒绝与劳动者签订无固定期限劳动合同，可能面临支付双倍工资等法律责任。这是因为用人单位的行为违反了《劳动合同法》的相关规定，损害了劳动者的合法权益。
协商原则：尽管法律规定了签订无固定期限劳动合同的条件，但双方仍可在协商一致的基础上选择签订固定期限劳动合同。如果劳动者在续签时明确提出要订立固定期限劳动合同，或者双方协商一致约定了具体的合同期限，那么也可以签订固定期限劳动合同。
五、实际操作建议
保留证据：劳动者应保留好每次签订劳动合同的证据，包括合同文本、续签记录等，以便在需要时证明自己的权益。
及时沟通：在续签劳动合同时，劳动者应与用人单位及时沟通，明确表达自己的意愿和要求。如果用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同，劳动者可以要求用人单位说明理由，并保留好相关证据。
寻求法律援助：如果劳动者与用人单位在签订无固定期限劳动合同问题上产生争议，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以维护自己的合法权益。
总结与建议：公司多次换签劳动合同后，劳动者在满足一定条件下有权要求签订无固定期限劳动合同。这一权利是法律赋予劳动者的，旨在保障劳动者的职业稳定权并鼓励长期稳定的劳动关系。因此，建议劳动者在续签劳动合同时，应充分了解相关法律法规，确保自己的权益得到保障。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。