劳务派遣工签订无固定期限劳动合同的情况下，用工单位确实可能承担一定的责任，但具体责任需根据实际情况和法律规定来综合判断。以下从几个关键角度为您详细分析：
一、劳务派遣单位与用工单位的法律关系
根据《劳动合同法》的规定，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的全部义务，包括与被派遣劳动者订立劳动合同、支付劳动报酬、提供劳动条件等。而用工单位则是实际使用劳动者的单位，与劳务派遣单位签订劳务派遣协议，明确双方的权利和义务。
二、无固定期限劳动合同的签订条件与用工单位责任
连续工作满十年：
- 若劳务派遣工在同一家劳务派遣单位连续不间断工作达到十年，根据《劳动合同法》的规定，应当签订无固定期限劳动合同。此时，如果用工单位继续使用该劳务派遣工，且劳务派遣单位未与其签订无固定期限劳动合同，用工单位可能因劳务派遣单位的违法行为而面临一定的法律风险，如协助劳务派遣单位承担赔偿责任等（具体责任需根据实际案件情况和法院判决来确定）。但更直接的责任在于劳务派遣单位，用工单位主要需确保自身与劳务派遣单位的协议合规，并监督劳务派遣单位履行义务。
连续订立二次固定期限劳动合同：
- 劳务派遣单位与被派遣劳动者连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者没有严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等情形，续订劳动合同时应当签订无固定期限劳动合同。如果用工单位在此情况下继续使用该劳务派遣工，且劳务派遣单位未依法签订无固定期限劳动合同，同样，用工单位可能因劳务派遣单位的违法行为而面临一定的间接法律风险，但主要责任仍在劳务派遣单位。
三、用工单位在劳务派遣中的直接责任
劳动条件与劳动保护：
- 用工单位需为劳务派遣工提供符合国家规定的劳动条件和劳动保护，确保其在工作过程中的安全与健康。如果用工单位未履行这一义务，导致劳务派遣工受到损害，用工单位需承担相应的赔偿责任。
工资支付与福利待遇：
- 虽然工资支付等义务主要由劳务派遣单位承担，但用工单位需确保按照劳务派遣协议的约定及时足额向劳务派遣单位支付相关费用，以保障劳务派遣工的合法权益。如果用工单位拖欠费用导致劳务派遣工工资未支付，用工单位可能需承担连带责任。
违法解除或终止劳动合同的后果：
- 如果用工单位违法解除或终止与劳务派遣工的用工关系（如未经劳务派遣单位同意擅自退回劳务派遣工），且该行为导致劳务派遣工遭受损失，用工单位可能需承担赔偿责任。不过，这种情况更多涉及用工单位与劳务派遣单位之间的协议履行问题，以及劳务派遣工对劳务派遣单位的权利主张。
四、建议与总结
对于劳务派遣工：
- 如果您已符合签订无固定期限劳动合同的条件，但劳务派遣单位未与您签订，您可以向劳务派遣单位提出要求，并保留相关证据以维护自身权益。同时，也可以向用工单位反映情况，要求其协助督促劳务派遣单位履行义务。
对于用工单位：
- 建议您在与劳务派遣单位签订劳务派遣协议时，明确双方的权利和义务，特别是关于无固定期限劳动合同签订的条件和程序。同时，加强对劳务派遣单位的监督和管理，确保其依法履行对劳务派遣工的义务，以降低自身的法律风险。
总结来说，劳务派遣工签订无固定期限劳动合同的情况下，用工单位可能因劳务派遣单位的违法行为而面临一定的间接法律风险，但主要责任仍在劳务派遣单位。用工单位需确保自身行为的合规性，并加强对劳务派遣单位的监督和管理。如果您有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。