结论：邻居在未经允许的情况下翻增门抓走你们的鸡，这一行为可能涉及侵权，需要承担相应的法律责任，具体责任需根据实际情况判断，可能包括民事赔偿责任，甚至可能涉及行政或刑事责任（如果情节严重）。
分析说明：
民事赔偿责任：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，公民的合法财产受法律保护，任何组织或者个人不得侵犯。邻居未经允许抓走你们的鸡，侵犯了你们的财产权，应当承担民事赔偿责任。
- 赔偿范围：赔偿范围通常包括鸡的直接损失（如市场价值）以及因抓鸡行为导致的其他直接损失（如鸡舍损坏、因寻找鸡而产生的费用等）。
行政责任（如果情节较轻）：
- 法律依据：如果邻居的行为被认定为扰乱公共秩序或侵犯他人财产权，且情节较轻，可能根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，受到行政处罚，如警告、罚款或拘留等。
- 情节判断：行政责任的承担通常取决于行为的性质、情节以及后果的严重程度。如果邻居只是偶尔为之，且未造成严重后果，可能仅受到行政处罚。
刑事责任（如果情节严重）：
- 法律依据：如果邻居的行为构成犯罪，如盗窃罪（如果鸡的价值达到一定标准）或故意毁坏财物罪（如果邻居在抓鸡过程中故意损坏了其他财物），则可能根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，承担刑事责任。
- 情节判断：刑事责任的承担通常要求行为具有严重的社会危害性，且达到犯罪的标准。如果邻居的行为情节严重，如多次盗窃、盗窃数额较大或故意毁坏财物造成重大损失，则可能构成犯罪。
特殊场景：
- 如果邻居抓鸡的行为是出于某种误解或误判（如认为鸡是流浪动物或属于公共财产），且事后能够积极赔偿并道歉，可能在一定程度上减轻其法律责任。但无论如何，未经允许抓走他人财物都是不合法的行为。
行动建议：
- 收集证据：首先，你们应该收集相关证据，如监控录像、目击者证言、鸡的价值证明等，以证明邻居的行为以及造成的损失。
- 与邻居协商：在收集到足够证据后，可以尝试与邻居进行协商，要求其赔偿损失并道歉。如果邻居愿意配合，可以达成和解协议。
- 寻求法律帮助：如果协商无果或邻居拒绝承担责任，你们可以向当地公安机关报案或向人民法院提起诉讼，要求邻居承担相应的法律责任。
后续思考依据：
- 在处理此类纠纷时，关键在于证明邻居的行为以及造成的损失。因此，收集证据是至关重要的。同时，了解相关法律法规和司法实践也有助于你们更好地维护自己的合法权益。
如有任何进一步的问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。