针对部门之间推卸责任的问题，可以采取以下措施来应对和解决：

1. 明确职责划分：

   • 法律依据与原则：根据《中华人民共和国公务员法》及相关行政管理制度，各部门应明确各自的职责范围和工作任务，确保职责清晰、分工明确。这是避免推卸责任的基础。
   • 实际操作建议：制定详细的部门职责说明书或岗位说明书，明确每个岗位的职责、权限和工作流程。同时，建立跨部门协作机制，明确在涉及多部门事务时的牵头部门和配合部门，以及各自的职责和协作方式。

2. 建立问责机制：

   • 法律依据：依据《中华人民共和国公务员法》中的奖惩制度，对在工作中推卸责任、不履行职责的公务员或部门进行问责。
   • 实际操作建议：设立专门的问责机构或指定问责负责人，对推卸责任的行为进行调查和认定。一旦确认存在推卸责任的行为，根据情节轻重给予相应的处分，如警告、记过、降级等。同时，将问责结果与部门的绩效考核、评优评先等挂钩，形成有效的约束机制。

3. 加强沟通与协调：

   • 沟通原则：部门之间应建立定期沟通机制，及时交流工作进展、问题和困难，共同协商解决方案。
   • 实际操作建议：可以定期召开跨部门会议，由各部门负责人参加，共同讨论和解决涉及多部门的问题。同时，建立信息共享平台，方便各部门及时获取和共享相关信息，减少因信息不对称导致的推卸责任行为。

4. 引入第三方调解或仲裁：

   • 适用场景：当部门之间的责任划分存在争议且无法自行解决时，可以引入第三方调解或仲裁机制。
   • 实际操作建议：可以选择具有公信力的第三方机构或专家进行调解或仲裁，根据事实和法律规定对责任进行划分和认定。这有助于确保责任划分的公正性和客观性，减少部门之间的争议和推卸责任行为。

5. 强化监督与考核：

   • 监督机制：建立健全的监督机制，对各部门的工作进行定期检查和评估，确保各部门按照职责划分履行职责。
   • 考核机制：将部门之间的协作情况和责任履行情况纳入绩效考核体系，对表现优秀的部门给予奖励和表彰，对推卸责任的部门进行扣分或处罚。

6. 提升公务员素质与责任感：

   • 培训与教育：加强对公务员的培训和教育，提高其职业素养和责任感，使其能够自觉履行职责、积极承担责任。
   • 激励机制：建立合理的激励机制，激发公务员的工作积极性和创造力，鼓励其主动承担责任、解决问题。

示例说明： 假设某市政府部门之间在处理一起环境污染事件时存在推卸责任的情况。政府可以首先明确各部门的职责划分，如环保部门负责监测和报告污染情况，城管部门负责查处违法排污行为等。然后建立问责机制，对推卸责任的部门进行问责和处分。同时加强部门之间的沟通与协调，定期召开会议共同讨论解决方案。如果争议无法解决，可以引入第三方调解或仲裁机制进行责任划分。最后通过强化监督与考核以及提升公务员素质与责任感等措施来预防类似情况的再次发生。

后续行动建议： 如果部门之间推卸责任的问题持续存在且无法得到有效解决，建议向上级机关或监察机关反映情况并寻求帮助。同时，也可以考虑通过法律途径解决争议，如提起行政诉讼等。在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，遵循法律程序和规定来维护自身权益和公共利益。