结论：体制内借调外单位人员请假是否需要占用原单位公休，这主要取决于借调协议中的具体约定以及原单位的相关规定。以下从不同角度进行分析：
借调协议约定：
- 情况说明：借调协议是借调单位与原单位之间就借调人员的借调期限、工作内容、待遇等事项达成的协议。如果协议中明确规定了借调期间请假的相关事宜，包括是否需要占用原单位公休，那么双方应严格按照协议执行。
- 建议：在借调前，借调人员应仔细阅读借调协议，了解其中关于请假的具体规定。如果协议中有不明确或存在争议的地方，应及时与双方单位沟通并明确。
原单位规定：
- 情况说明：即使借调协议中没有明确规定请假事宜，原单位也可能有自己的相关规定。这些规定可能涉及借调人员请假是否需要占用原单位公休、请假流程、审批权限等。
- 建议：借调人员在请假前，应咨询原单位的人事部门或相关负责人，了解原单位的具体规定，并按照规定流程进行请假申请。
实际操作中的灵活性：
- 情况说明：在实际操作中，由于借调人员同时受到借调单位和原单位的管理，因此请假事宜可能存在一定的灵活性。例如，借调单位可能根据工作需要，允许借调人员在不占用原单位公休的情况下请假；或者原单位可能根据借调人员的实际情况，给予一定的特殊照顾。
- 建议：借调人员在遇到请假问题时，应积极与借调单位和原单位沟通，说明自己的实际情况和需求，争取双方的理解和支持。在沟通过程中，应保持诚信和透明，避免产生不必要的误解和纠纷。
法律背景与建议：
- 虽然目前没有直接的法律法规对体制内借调外单位人员请假是否需要占用原单位公休作出明确规定，但借调协议和原单位的规定是处理此类问题的主要依据。
- 借调人员在借调期间应严格遵守借调协议和原单位的规定，确保自己的行为合法合规。
- 如果遇到请假问题无法解决或产生纠纷时，借调人员可以寻求法律援助或咨询专业律师（如我），以维护自己的合法权益。
可能后果：
- 如果借调人员未经允许擅自请假或违反借调协议和原单位的规定，可能会面临纪律处分、影响借调评价等后果。
- 在严重情况下，甚至可能影响借调人员的职业发展和个人声誉。
因此，体制内借调外单位人员在请假时，应务必谨慎对待，确保自己的行为合法合规，并积极与双方单位沟通协商。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。