核心结论：您亲戚在未签合同、未缴社保的工厂因工受伤（手指断两节），可依法主张工伤赔偿，赔偿项目包括医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等，具体需结合伤残等级和工资标准计算；同时可要求工厂补缴社保、支付未签合同的双倍工资差额。以下是详细分析：
一、工伤认定是赔偿的前提，与是否签合同、缴社保无关
根据《工伤保险条例》第十四条，在工作时间和工作场所内因工作原因受伤的，应认定为工伤。您亲戚的情况符合这一条件（工厂内、因工作导致手指断裂），即使未签合同、未缴社保，也不影响工伤认定。工厂若以“未签合同”或“临时工”为由拒绝认定，属于违法行为。
操作建议：
- 立即要求工厂在30日内向当地社保部门申请工伤认定（若工厂拒绝，您亲戚或其家属可在1年内自行申请）；
- 保存好工作证据（如工资转账记录、工友证言、工作证、考勤记录等），证明劳动关系和受伤事实。
二、赔偿项目及计算方式（需先做伤残鉴定）
手指断两节可能构成九级或十级伤残（具体以劳动能力鉴定委员会结论为准），赔偿项目包括：
- 医疗费：实际发生的治疗费用（工厂已支付的，不再重复主张）；
- 停工留薪期工资：按受伤前12个月平均工资计算，一般不超过12个月（需医院出具病假证明）；
- 一次性伤残补助金：
- 九级伤残：9个月本人工资；
- 十级伤残：7个月本人工资；
- 一次性工伤医疗补助金/伤残就业补助金：离职时由工厂支付，标准按当地规定（如广东九级伤残共约12个月社平工资）；
- 护理费、住院伙食补助费：按实际需求主张。
关键点：若工厂未缴社保，所有赔偿均由工厂承担；若已缴社保，部分项目（如一次性医疗补助金）由工伤保险基金支付。
三、未签合同、未缴社保的额外赔偿
- 未签合同的双倍工资差额：根据《劳动合同法》第八十二条，工厂未签书面合同，需支付自用工次月起至第12个月的双倍工资（需在1年内申请劳动仲裁主张）；
- 补缴社保：可向当地社保部门投诉，要求工厂补缴工作期间的社保（需提供劳动关系证明）。
四、维权步骤总结
- 第一步：申请工伤认定（优先处理，关系后续赔偿）；
- 第二步：做劳动能力鉴定（确定伤残等级）；
- 第三步：与工厂协商赔偿，协商不成可申请劳动仲裁；
- 第四步：同步主张未签合同、未缴社保的赔偿（可与工伤赔偿一并仲裁）。
最后提醒：工厂可能以“私下赔偿”诱导您放弃权益，务必谨慎签署协议。若对流程或赔偿计算有疑问，可直接向我咨询，我会结合您所在省份的具体标准详细解答。