结论：合同到期后一个月不续签，若公司声称“忘记了”，员工有权要求公司进行赔偿，具体赔偿金额和方式需根据实际情况来确定。以下分情况详细说明：
一、未续签但继续用工的情况
双倍工资赔偿：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，劳动合同到期后，若公司未续签但员工仍继续工作，从劳动合同期满的次日起至满一年的前一日，公司应每月向劳动者支付两倍的工资。
- 计算公式：假设员工原月工资为W元，合同到期后未续签但继续工作了N个月（1≤N≤11），则公司需支付的双倍工资差额为W×N元。
- 示例：若员工原月工资为5000元，合同到期后未续签但继续工作了3个月，则公司需支付的双倍工资差额为5000×3=15000元。
经济补偿：
- 若公司在此期间以未续签合同为由终止劳动关系，除需支付上述双倍工资外，还需按照《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条支付经济补偿。
- 计算公式：经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 示例：若员工在公司工作了4年6个月，合同到期后未续签但继续工作了2个月后被终止劳动关系，且终止前十二个月的平均工资为6000元，则公司需支付的经济补偿为6000×5=30000元（4年按4个月计算，6个月按1个月计算，共5个月）。
二、未续签且未继续用工的情况
- 经济补偿：
- 合同到期后，若公司未续签且员工也未再到公司工作，双方劳动关系终止。
- 在此情况下，若是公司主动不续签劳动合同，公司需按照《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条的规定向员工支付经济补偿，计算方式同上。
- 但若员工主动提出不续签，且公司维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同而员工不同意，则公司无需支付经济补偿。
三、一般原则与建议
- 协商解决：尽管法律规定了具体责任，但在实际操作中，双方仍可通过协商寻求解决方案。这有助于快速解决争议，减少不必要的法律纠纷。
- 法律途径：若协商无果，员工可以通过法律途径维护自己的权益，如向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
- 保留证据：在整个过程中，员工应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以便在需要时证明自己的权益。
总结与建议：合同到期后公司未续签，员工有权要求公司进行赔偿。具体赔偿金额和方式需根据实际情况来确定，包括是否继续用工、工作年限、月工资等因素。建议员工在遇到此类情况时，首先与公司进行协商，若协商无果，则及时寻求法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。