面对家人被别人打了，报警后警察没有立即抓人的情况，您先不要着急，这可能是由于多种原因导致的。以下是我为您详细梳理的应对步骤和建议，希望能帮助您更好地维护家人的合法权益。

一、了解案件处理流程与可能的原因

首先，您需要了解，打架斗殴事件报案后，派出所会展开侦查工作。警察不立即抓人，可能是因为案件需要进一步调查取证，比如确认打人者的身份、了解事件的具体经过、评估伤害程度等。另外，如果打人情节轻微，可能不构成刑事犯罪，而是属于治安案件，这时警察的处理方式也会有所不同。

二、与警方积极沟通协调

1. 咨询原因：您可以主动与负责案件的警察沟通，礼貌地询问不抓人的具体原因。这样可以帮助您更好地了解案件进展，也能让警方感受到您对案件的关注。
2. 表达要求：向办案人员及派出所所长表达您希望尽快处理案件的要求，并了解案件处理的进展情况。这有助于推动案件的快速解决。

三、利用投诉与申诉渠道

如果您认为警方处理不当或存在不作为的情况，可以通过以下途径进行投诉和申诉：

1. 内部申诉：

   • 向办案部门申诉，详细阐述您对案件的看法和认为应当抓人的理由，同时提供医院诊断证明等相关证据。
   • 如不满意办案部门的处理结果，可向公安机关的法制部门提出申诉，提交证据材料并配合调查。

2. 外部投诉：

   • 在官方网站（如政府网站、公安局网站）进行投诉，说明案件情况和派出所不作为的事实。
   • 到上级公安机关信访办反映情况，请求他们要求派出所秉公处理。
   • 向人民政府或纪委投诉，反映派出所不处理案件的情况。

四、考虑申请行政复议与提起行政诉讼

1. 行政复议：如果您认为警方的行为违反了法律法规，可以在规定期限内（一般为自知道具体行政行为之日起六十日内）向上一级公安机关或同级人民政府申请行政复议，要求审查并纠正警察不抓人的行为。在申请行政复议时，您需要准备充分的证据材料来支持您的主张。
2. 行政诉讼：如果行政复议结果未达预期，您可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。法院将对警察行为的合法性进行全面审查，并作出公正判决。

五、寻求法律援助与咨询专业律师

如果以上途径均未能解决问题，或者您对法律程序不熟悉，建议您寻求法律援助。咨询专业律师，了解自己的权益和维权途径。律师可以协助您向有关部门提出申请或进行诉讼，更好地维护您的合法权益。

六、务必收集与保留证据

在整个过程中，您务必注意收集并保留好所有相关证据，包括但不限于：报警回执与记录、与警察沟通的记录、现场照片与视频、医院的病历与诊断证明、目击证人证言等。这些证据将在后续的投诉、申诉、行政复议或行政诉讼中发挥重要作用。

七、了解相关法律规定

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》和《中华人民共和国刑法》的相关规定，殴打他人或故意伤害他人身体将面临治安处罚或刑事处罚。构成轻伤或以上的，打人者涉嫌故意伤害罪，应被追究刑事责任。了解这些法律规定有助于您更好地判断案件的性质和可能的结果。

综上所述，面对家人被别人打了而警察未采取抓捕行动的情况，您应积极与警方沟通协调，利用投诉与申诉渠道反映问题，必要时寻求法律援助并保留好相关证据以维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。