家人被打后报警但警方未立即抓人，可能存在以下几种情况，我为您详细分析并给出建议：

1. 案件事实尚未完全查清
   警方在接到报案后，需先开展初步调查（如调取监控、询问在场人员、验伤等）。若存在以下情形，可能暂不采取强制措施：

   • 打人者身份不明（如现场混乱无法确认嫌疑人）；
     
   • 关键证据缺失（如无监控、证人证言矛盾）；
     
   • 伤情鉴定结果未出（需根据伤势轻重决定是否立案）。
     建议：主动联系办案民警，要求书面告知案件进展（如《受案回执》），并配合补充证据（如提供目击者联系方式、现场照片等）。

2. 情节显著轻微不构成犯罪
   若打架行为未达到刑事立案标准（如仅造成轻微伤），警方可能依据《治安管理处罚法》处理，通常先调解，调解不成再处罚。此时抓人非首要步骤，而是会先调查取证。
   建议：要求警方出具《伤情鉴定委托书》，尽快做伤情鉴定。若鉴定为轻伤及以上，可追究对方刑事责任；若为轻微伤，可主张行政处罚（如拘留、罚款）及民事赔偿。

3. 嫌疑人未到案或存在特殊情形

   • 嫌疑人逃逸或拒不配合调查；
     
   • 嫌疑人未满14周岁、精神疾病等依法不负刑事责任的情形；
     
   • 双方存在互殴情节，需进一步厘清责任。
     建议：向警方提供嫌疑人线索（如住址、工作单位），督促尽快抓捕；若对方逃避，可申请列为网上追逃人员。

4. 程序性延迟或执法规范要求
   警方需遵循法定程序（如24小时内完成询问、48小时内制作笔录等），若遇节假日或案情复杂，可能延长处理时间。
   建议：要求警方出具《立案通知书》或《不予立案通知书》，若对处理结果不满，可在7日内向上一级公安机关申请复议，或向检察院申请立案监督。

行动清单：

1. 立即陪同家人做伤情鉴定（这是后续维权的关键）；
   
2. 收集现场证据（如录音、录像、医疗记录）；
   
3. 书面要求警方说明未抓人的具体原因及下一步计划；
   
4. 若涉及刑事犯罪，可同步咨询律师准备刑事附带民事诉讼材料。
   

如有进一步细节（如伤情、现场情况等），可随时向我补充，我会为您分析具体应对策略。