结论：任职期间在家中摔倒，公司是否有责任赔偿，这主要取决于摔倒是否与工作相关以及是否符合工伤认定的条件。一般情况下，如果摔倒并非因工作原因导致，公司通常不承担赔偿责任；但如果符合工伤认定的特定情形，公司则可能需要承担相应责任。
分析：
非工作原因摔倒：
- 如果员工在家中摔倒是因为个人原因，如走路不小心、地面湿滑等，且与工作无直接关联，那么这种情况通常不被视为工伤。
- 在这种情况下，公司一般不承担赔偿责任，员工需要自行承担医疗费用等相关损失。
符合工伤认定情形：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤通常指的是在工作过程中或因工作原因受到的伤害。然而，也存在一些特殊情况，如员工在上下班途中受到非本人主要责任的交通事故伤害，或者因工外出期间由于工作原因受到伤害等，这些也可能被认定为工伤。
- 对于在家中摔倒的情况，如果员工是在执行工作任务（如在家远程办公时因工作需要移动或操作设备导致摔倒），且能够证明摔倒与工作有直接关联，那么有可能被认定为工伤。
- 一旦被认定为工伤，员工就有权享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、伤残津贴等，这些费用通常由工伤保险基金或公司承担。
建议：
- 收集证据：如果员工认为自己的摔倒与工作有关，应尽快收集相关证据，如医疗记录、工作记录、证人证言等，以支持自己的主张。
- 申请工伤认定：员工或其家属应向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，并提交相关证据材料。
- 咨询专业律师：在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。律师可以根据具体情况分析案件的胜诉可能性，并帮助员工制定合适的维权策略。
可能后果：
- 如果员工能够成功证明摔倒与工作有关并被认定为工伤，那么公司可能需要承担相应的赔偿责任，包括支付医疗费用、伤残津贴等。
- 如果员工无法证明摔倒与工作有关或工伤认定申请被驳回，那么公司通常不承担赔偿责任，员工需要自行承担相关损失。
总之，任职期间在家中摔倒公司是否有责任赔偿，取决于摔倒是否与工作相关以及是否符合工伤认定的条件。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。