私立医院停业，员工是可以申请劳动仲裁的。以下从几个方面为你详细分析：
法律依据与仲裁范围
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，中华人民共和国境内的用人单位与劳动者发生的下列劳动争议，适用本法：
- 因确认劳动关系发生的争议；
- 因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议；
- 因除名、辞退和辞职、离职发生的争议；
- 因工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训以及劳动保护发生的争议；
- 因劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或者赔偿金等发生的争议；
- 法律、法规规定的其他劳动争议。
私立医院停业，往往伴随着劳动合同的解除或终止、劳动报酬的支付、经济补偿的给付等一系列问题，这些问题均属于劳动争议调解仲裁法的调整范围。因此，员工有权就这些问题向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
私立医院停业的具体情形与仲裁申请
医院停业且未与员工协商一致解除劳动合同：
- 在这种情况下，医院可能单方面解除劳动合同，但未按照法律规定支付经济补偿或未提前通知员工。员工可以就违法解除劳动合同、未支付经济补偿等事项申请仲裁。
医院停业且与员工协商一致解除劳动合同，但未支付经济补偿：
- 即使双方协商一致解除劳动合同，医院也需按照法律规定支付经济补偿。如果医院未支付，员工同样可以申请仲裁。
医院停业导致劳动合同无法继续履行，但医院未提供相应待遇：
- 如医院停业导致员工无法继续工作，且医院未按照法律规定支付待岗工资、生活费等，员工也可以就这些事项申请仲裁。
仲裁申请流程与注意事项
- 准备仲裁申请材料：包括仲裁申请书、身份证复印件、证据材料（如劳动合同、工资单、医院停业通知等）等。
- 提交仲裁申请：将准备好的仲裁申请材料提交至医院所在地的劳动争议仲裁委员会。
- 参加仲裁庭审：按照仲裁委员会的通知参加庭审，陈述事实、提供证据、进行辩论等。
- 等待仲裁裁决：仲裁委员会将在受理仲裁申请后一定期限内作出裁决。
在申请仲裁时，员工需要注意以下几点：
- 及时申请：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，员工应在知道医院停业且自身权益受到侵害后及时申请仲裁。
- 保留证据：员工应妥善保留与医院之间的劳动合同、工资单、医院停业通知等相关证据材料，以便在仲裁过程中证明自己的主张。
- 寻求专业帮助：如果员工对仲裁流程或法律规定不熟悉，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。
私立医院停业时，员工有权就劳动合同解除、经济补偿支付等劳动争议事项申请劳动仲裁。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。