若您因非法定原因被开除退伍公益岗位，您有权通过法律途径维护自身权益，具体可从以下角度分析和处理：

1. 核查开除的合法性
   根据《劳动合同法》及地方性公益岗位管理规定，用人单位解除劳动合同需符合法定条件（如严重违纪、不能胜任工作等），且需履行法定程序（如提前通知、听取意见、出具书面证明等）。若用人单位未提供合法理由或未履行程序，可能构成违法解除。
   建议行动：要求用人单位出具书面解除通知，明确解除理由及依据；若未出具，可向当地劳动监察部门投诉要求责令出具。

2. 主张经济补偿或赔偿

   • 合法解除：若用人单位因您严重违纪等合法理由解除合同，您可能无法获得补偿，但需确认用人单位是否已举证证明违纪事实（如规章制度、违纪证据等）。
     
   • 违法解除：若用人单位无法证明解除合法性，您有权要求支付赔偿金（标准为经济补偿金的2倍，经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资）。
     建议行动：收集工资条、工作证、解除通知等证据，计算应得补偿金额，与用人单位协商；协商不成可申请劳动仲裁。

3. 申请劳动仲裁维护权益
   若与用人单位协商无果，您可向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张违法解除赔偿金、未签书面合同双倍工资（如存在）、未休年假工资等权益。
   注意：劳动仲裁时效为1年，自知道或应当知道权益被侵害之日起计算，需尽快行动。

4. 关注特殊身份权益
   作为退伍军人，您可能享有《退役军人保障法》规定的优先就业、培训等权益。若用人单位开除行为涉嫌歧视或违反退役军人保障政策，可向当地退役军人事务部门投诉，要求协调处理或提供法律援助。
   建议行动：携带退伍证、公益岗位合同等材料，向退役军人事务部门说明情况，请求介入调查。

行动建议总结：

1. 立即要求用人单位出具书面解除通知；
   
2. 收集证据（合同、工资记录、工作证明等）；
   
3. 计算应得补偿金额，与用人单位协商；
   
4. 协商不成，1年内申请劳动仲裁；
   
5. 同步向退役军人事务部门反映情况，寻求政策支持。
   

若您需要进一步分析具体证据或协助起草法律文书，可随时向我提供案件细节，我会为您详细解答。