结论：产假期间劳动合同到期自动顺延后，公司一般不可以随意不续签；但在特定法定情形下，公司可以不续签，不过需要承担相应补偿责任。

详细分析

1. 正常情况下公司不可以随意不续签
   • 根据《劳动合同法》第四十二条、第四十五条规定，女职工在孕期、产期、哺乳期的，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。也就是说，当女职工处于产假期间，劳动合同到期了会自动顺延至哺乳期结束。在这个顺延期间，公司不能以劳动合同到期为由不续签劳动合同，否则属于违法终止劳动合同。
   • 如果公司违法终止劳动合同，女职工有权要求公司继续履行劳动合同；如果不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，公司应当依照经济补偿标准的二倍向女职工支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
2. 特定法定情形下公司可以不续签但需补偿
   • 如果在顺延期间，出现了《劳动合同法》第三十九条规定的情形，例如女职工严重违反用人单位的规章制度的；严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；被依法追究刑事责任等，公司可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。不过，这种情况需要公司有充分的证据证明女职工存在相应的过错行为。
   • 若不存在上述过错情形，但公司因客观情况发生重大变化等原因，确实无法继续维持劳动关系，在与女职工协商一致的情况下，可以解除劳动合同，但需要按照法律规定支付经济补偿。

如果你还有其他关于劳动法律方面的问题，欢迎随时向我咨询。