在劳动仲裁过程中，您确实有权请求公司提供在职期间所签订的几次劳动合同。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。因此，劳动合同是证明劳动关系存在及双方权利义务关系的重要证据。
- 在劳动仲裁过程中，双方都有责任提供证据来支持自己的主张。如果您需要证明与公司的劳动关系、工作内容、工资待遇等关键信息，劳动合同是最直接、最有效的证据。因此，您有权要求公司提供您在职期间所签订的劳动合同。
仲裁实践：
- 在劳动仲裁实践中，仲裁庭通常会要求双方提供与案件相关的证据材料。如果您提出要求公司提供劳动合同的请求，仲裁庭很可能会支持这一请求，并要求公司提交相关证据。
- 如果公司拒绝提供或无法提供劳动合同，仲裁庭可能会根据其他证据（如工资单、工作证、考勤记录等）来认定双方存在劳动关系，并据此作出裁决。但这种情况下，由于缺乏直接证据，可能会增加您证明自己主张的难度。
建议与策略：
- 提前准备：在申请劳动仲裁前，您可以先尝试与公司协商，要求公司提供劳动合同复印件或扫描件。如果公司拒绝提供，您可以在仲裁申请中明确提出这一请求。
- 收集其他证据：除了劳动合同外，您还可以收集其他与案件相关的证据材料，如工资单、工作证、考勤记录、同事证言等。这些证据可以辅助证明您的主张，增加胜诉的可能性。
- 咨询专业律师：劳动仲裁涉及复杂的法律程序和证据规则，如果您对仲裁流程或证据收集有疑问，建议咨询专业律师。我可以根据您的具体情况，提供针对性的法律建议和帮助。
可能面临的法律后果：
- 如果公司拒绝提供劳动合同且无法提供其他充分证据证明双方不存在劳动关系或您的主张不成立，仲裁庭可能会根据您提供的证据和法律规定作出有利于您的裁决。
- 如果公司能够提供充分证据反驳您的主张，或者您无法提供足够证据支持自己的主张，仲裁庭可能会驳回您的仲裁请求。
总结来说，在劳动仲裁过程中，您有权请求公司提供在职期间所签订的劳动合同。为了增加胜诉的可能性，建议您提前准备相关证据材料，并在必要时咨询专业律师。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。