结论：公司未给员工劳动合同，员工在符合法定条件时确实有权主张第二个月起的双倍工资差额。 以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”这一条款明确规定了企业在未依法签订劳动合同时应承担的法律责任。
二、适用条件
时间范围：
- 员工需证明其入职后超过一个月且未满一年的时间段内，企业未与其签订书面劳动合同。例如，若员工于2023年1月1日入职，至2024年1月1日前仍未签订合同，则此期间（从第二个月起算）可主张双倍工资差额。
未签订原因归责于企业：
- 若因企业故意拖延或拒绝签订导致合同缺失，员工的主张具有正当性。
- 特殊情况：若因员工个人原因（如拒绝签订劳动合同且有书面证据等）导致未签订劳动合同，用人单位可能无需支付双倍工资。例如，公司多次通知员工签订合同但员工拒绝的情况。
三、计算方式
基数确定：
- 以员工实际获得的月工资为标准，包括基本工资、奖金、津贴等货币性收入，但不包含加班费等非常规收入。
时段界定：
- 从用工满一个月的次日起，计算至补签合同前一日或满一年时止（最长不超过11个月）。例如，若企业自第二个月起未签合同，则需支付后续11个月的双倍工资差额。
四、操作建议与注意事项
时效限制：
- 劳动仲裁申请需在知道权利被侵害之日起一年内提出，逾期可能丧失胜诉权。因此，员工应及时主张权益，避免错过时效窗口。
证据留存：
- 员工应保存工资条、考勤记录、工作证等材料，必要时可通过录音、证人证言等方式佐证劳动关系及未签约事实。这些证据在主张双倍工资时至关重要。
主动维权：
- 发现企业未依法签订合同时，员工应及时通过协商、投诉或仲裁等途径主张权益。若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
补订劳动合同：
- 若用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，视为已订立无固定期限劳动合同。此时，除需支付11个月的双倍工资外，还应立即补订书面劳动合同。
五、实际案例参考
假设员工A于2023年3月1日入职某公司，但公司一直未与其签订书面劳动合同。至2023年12月31日，员工A仍未与公司签订合同。在此情况下，员工A有权从2023年4月1日起至2023年12月31日止（共9个月），主张双倍工资差额。计算基数为员工A的实际月工资（包括基本工资、奖金、津贴等）。
总结：公司未给员工劳动合同，员工在符合法定条件时确实有权主张第二个月起的双倍工资差额。但员工在维权过程中应注意时效限制、证据留存和主动维权等问题。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。