核心结论：即使没有签订书面劳动协议，只要存在事实劳动关系，公司仍然需要对员工在从事公司事务过程中发生的事故承担责任。
事实劳动关系的认定
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第七条：“用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。用人单位应当建立职工名册备查。” 这表明，劳动关系的建立并不以签订书面劳动合同为前提，而是以实际用工为标志。
事实劳动关系的构成：
- 事实劳动关系是指用人单位与劳动者之间虽然没有签订书面劳动合同，但双方实际履行了劳动权利和义务而形成的劳动关系。
- 构成事实劳动关系通常需要满足以下条件：劳动者为用人单位提供了劳动；用人单位接受了劳动者提供的劳动；用人单位向劳动者支付了劳动报酬；劳动者在经济上依赖于用人单位。
公司责任的分析
工伤认定：
- 如果员工在从事公司事务过程中发生事故，且该事故符合工伤的定义（即在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害），那么员工有权申请工伤认定。
- 工伤认定不以签订书面劳动合同为前提，只要存在事实劳动关系，员工就可以依法享受工伤保险待遇。
公司责任：
- 根据《工伤保险条例》等相关法律法规，用人单位应当为员工缴纳工伤保险费。如果未缴纳，员工发生工伤后，用人单位需要承担相应的工伤保险待遇支付责任。
- 即使没有签订书面劳动合同，公司也不能免除其作为用人单位应承担的法律责任。公司需要为员工的事故伤害承担医疗费用、伤残补助、一次性工伤医疗补助金等费用。
实际操作建议
收集证据：
- 员工应尽可能收集能够证明事实劳动关系存在的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。
- 这些证据在申请工伤认定和后续的法律程序中都将起到关键作用。
及时申请工伤认定：
- 员工应在事故发生后及时向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请，以便尽快享受工伤保险待遇。
寻求法律帮助：
- 如果公司在事故处理过程中存在不配合或拒绝承担责任的情况，员工可以寻求法律帮助，通过法律途径维护自己的合法权益。
总结与启示：
即使没有签订书面劳动协议，只要存在事实劳动关系，公司仍然需要对员工在从事公司事务过程中发生的事故承担责任。员工应了解自己的权益，并在必要时采取法律手段维护自己的合法权益。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。