结论：在您跟公司没签合同但付了款，而公司没履约的情况下，您是有权要求退款的，但具体能否成功退款以及退款的方式和金额，需要根据实际情况和法律规定来综合判断。以下是从不同角度的详细分析：
一、合同关系的认定
书面合同并非唯一依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同可以是书面形式、口头形式或者其他形式。因此，即使没有签订书面合同，只要双方存在事实上的合同关系，即一方支付款项，另一方承诺提供服务或商品，那么合同关系就成立。
事实合同关系的证明：
- 在没有书面合同的情况下，您需要收集其他证据来证明双方存在合同关系，如付款凭证、聊天记录、邮件往来、证人证言等。这些证据将有助于您在后续的法律程序中维护自己的权益。
二、公司未履约的法律责任
违约责任：
- 如果公司未按照约定履行其义务，即构成违约。根据《民法典》的规定，违约方应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。
退款请求的合理性：
- 在公司未履约的情况下，您有权要求公司退款。退款金额通常应等于您已支付的款项，但如果公司已经部分履行了义务，或者您因公司违约而遭受了其他损失，那么退款金额可能需要相应调整。
三、退款的具体操作和注意事项
协商退款：
- 首先，您可以尝试与公司进行协商，要求其退款。在协商过程中，您可以提供付款凭证等证据来支持您的退款请求。
法律途径：
- 如果协商无果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。这包括向消费者协会投诉、向工商行政管理部门举报或者向法院提起诉讼等。
- 在提起诉讼时，您需要准备充分的证据来证明双方存在合同关系、公司未履约以及您因此遭受的损失等。
注意事项：
- 在整个过程中，您需要注意保留好所有相关证据，如付款凭证、聊天记录、邮件往来等。这些证据将在后续的法律程序中发挥重要作用。
- 同时，您也需要了解相关的法律规定和诉讼程序，以便更好地维护自己的权益。
四、特殊情况下的处理
如果公司已经破产或注销：
- 如果公司已经破产或注销，那么退款可能会变得更加困难。在这种情况下，您可能需要向公司的清算组或者股东主张权利，或者通过其他法律途径来寻求救济。
如果涉及诈骗等违法行为：
- 如果公司存在诈骗等违法行为，那么您应该立即向公安机关报案，并配合公安机关的调查工作。在这种情况下，退款可能不是首要目标，而是追究公司的刑事责任。
建议：鉴于您目前的情况，我建议您首先尝试与公司进行协商退款。如果协商无果，您可以考虑咨询专业律师（即我本人，程亚律师，专注于婚姻家庭、合同纠纷领域）的意见，并准备充分的证据来维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。