结论：针对您提出的“刚进单位签一年合同到期后一直没签是否应按第一次合同执行”的问题，这并非一个简单的“是”或“否”的答案，而是需要根据具体情况来分析。
分析角度一：合同到期后的法律状态
合同自然终止：当您与单位签订的一年期劳动合同到期时，该合同即自然终止。此时，双方的权利义务关系按照合同约定已经履行完毕，除非双方有续签合同的意愿并达成一致，否则合同关系即告结束。
未续签合同的影响：如果合同到期后，双方未续签书面劳动合同，但您继续在单位工作，这通常被视为双方以实际行为延续了劳动关系。然而，这种延续并不意味着原合同的所有条款都自动延续。特别是关于合同期限、工资待遇等关键条款，可能需要双方重新协商确定。
分析角度二：未签合同期间的权益保障
事实劳动关系：在合同到期后未续签但继续工作的情况下，您与单位之间形成了事实劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这是对您在未签合同期间权益的一种保障。
原合同条款的适用性：虽然事实劳动关系存在，但原合同中的某些条款（如保密协议、竞业限制等）可能仍然具有约束力，具体取决于这些条款的性质和约定。然而，对于合同期限、工资待遇等直接涉及双方核心权益的条款，通常不能简单地认为原合同自动延续。
分析角度三：建议与行动
与单位协商：首先，我建议您与单位进行友好协商，明确双方在未签合同期间的权利义务关系。特别是关于工资待遇、工作条件、合同期限等关键问题，应尽可能达成书面协议，以避免未来可能出现的纠纷。
寻求法律援助：如果协商无果，或者您认为单位的行为侵犯了您的合法权益，您可以考虑寻求法律援助。作为专业律师，我可以根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助，包括起草法律文书、参与谈判或诉讼等。
总结与进一步思考：
合同到期后未续签但继续工作的情况在现实中并不少见。然而，这并不意味着您可以简单地认为原合同的所有条款都自动延续。相反，您应该根据具体情况与单位进行协商，并尽可能达成书面协议以明确双方的权利义务关系。如果您在协商过程中遇到困难或认为自己的权益受到侵犯，不妨直接向我咨询，我将根据您的具体情况为您提供专业的法律帮助。