核心结论：在工厂上班导致小手指第一节被压断，一般可依据《工伤保险条例》获得相应补偿，补偿项目及金额需根据伤残等级鉴定结果确定，具体如下：
工伤认定是前提
- 首先需要确认该伤害是否属于工伤。根据《工伤保险条例》第十四条规定，在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。在工厂上班时小手指第一节被压断，符合在工作时间、工作场所内因工作原因受伤的情形，通常可认定为工伤。
- 用人单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
劳动能力鉴定确定伤残等级
- 工伤认定后，经治疗伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的，应当进行劳动能力鉴定。劳动能力鉴定由用人单位、工伤职工或者其近亲属向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请，并提供工伤认定决定和职工工伤医疗的有关资料。
- 劳动能力鉴定委员会会根据工伤职工的伤残情况，对照《劳动能力鉴定 职工工伤与职业病致残等级》标准，将伤残等级划分为一至十级，最重为一级，最轻为十级。小手指第一节被压断，一般可能构成十级伤残，但具体等级需以鉴定结果为准。
根据伤残等级获得相应补偿
- 医疗费用：工伤职工治疗工伤所需的费用，包括挂号费、检查费、治疗费、药费、住院费等，符合工伤保险诊疗项目目录、工伤保险药品目录、工伤保险住院服务标准的，从工伤保险基金支付。
- 停工留薪期工资：职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。停工留薪期一般不超过12个月，伤情严重或者情况特殊，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。
- 护理费：生活不能自理的工伤职工在停工留薪期需要护理的，由所在单位负责。如果工伤职工已经评定伤残等级并经劳动能力鉴定委员会确认需要生活护理的，从工伤保险基金按月支付生活护理费。生活护理费按照生活完全不能自理、生活大部分不能自理或者生活部分不能自理3个不同等级支付，其标准分别为统筹地区上年度职工月平均工资的50%、40%或者30%。
- 一次性伤残补助金：十级伤残的一次性伤残补助金为7个月的本人工资。本人工资是指工伤职工因工作遭受事故伤害或者患职业病前12个月平均月缴费工资。本人工资高于统筹地区职工平均工资300%的，按照统筹地区职工平均工资的300%计算；本人工资低于统筹地区职工平均工资60%的，按照统筹地区职工平均工资的60%计算。
- 一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金：如果工伤职工与用人单位解除或者终止劳动关系的，由工伤保险基金支付一次性工伤医疗补助金，由用人单位支付一次性伤残就业补助金。具体标准由省、自治区、直辖市人民政府规定。例如，在某些地区，十级伤残的一次性工伤医疗补助金和一次性伤残就业补助金合计可能为几个月的当地上年度职工月平均工资。
特殊情况处理
- 如果用人单位没有为职工缴纳工伤保险，那么所有工伤保险待遇都由用人单位承担。用人单位不支付的，工伤职工可以申请劳动仲裁，要求用人单位支付相应的工伤待遇。
- 如果对工伤认定结论不服或者对劳动能力鉴定结论有异议，可以在规定的时间内申请行政复议或者向人民法院提起行政诉讼，或者向省级劳动能力鉴定委员会提出再次鉴定申请。
建议：尽快让用人单位为你申请工伤认定，并积极配合进行劳动能力鉴定。在治疗过程中，保留好所有的医疗费用票据等相关证据。如果对补偿金额或程序有疑问，可以随时向我咨询。