结论：您可以起诉要求孩子的亲生父亲支付抚养费、教育费及医疗费，但需满足一定条件并遵循法定程序。以下从法律背景、具体操作及可能面临的挑战三个角度为您详细分析：

一、法律背景与依据

根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条规定：“非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。不直接抚养非婚生子女的生父或者生母，应当负担未成年子女或者不能独立生活的成年子女的抚养费”。这一条款明确了两点核心内容：

1. 非婚生子女与婚生子女权利平等：无论父母是否结婚，孩子出生后均享有法律赋予的同等权利，包括被抚养、教育的权利。
2. 生父的抚养义务：若生父不直接抚养孩子，则需承担抚养费支付责任，抚养费范围通常包括生活费、教育费、医疗费等必要支出。

二、具体操作流程

若您决定通过法律途径主张权利，需按以下步骤进行：

1. 确认亲子关系：

   • 自愿确认：若生父愿意承认亲子关系，可共同签署书面确认文件，或通过公证、录音录像等方式留存证据。
   • 司法鉴定：若生父否认亲子关系，您需向法院申请亲子鉴定。根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第三十九条规定，父或者母向人民法院起诉请求否认亲子关系，并已提供必要证据予以证明，另一方没有相反证据又拒绝做亲子鉴定的，人民法院可以认定否认亲子关系一方的主张成立。反之，若您主张确认亲子关系，生父拒绝鉴定且无相反证据，法院可能推定亲子关系成立。

2. 提起诉讼：

   • 被告确定：以生父为被告，向其户籍所在地或经常居住地法院起诉。
   • 诉讼请求：明确要求生父支付抚养费（含教育费、医疗费），并可主张一次性支付或分期支付（通常按月或按年）。
   • 证据提交：包括亲子关系证明（如鉴定报告、出生证明、共同生活照片等）、孩子实际支出凭证（如医疗费发票、教育费收据等）、生父收入证明（如工资单、银行流水等，用于确定抚养费标准）。

3. 抚养费标准：

   • 有固定收入者：抚养费一般按其月总收入的20%-30%比例给付；负担两个以上子女抚养费的，比例可适当提高，但一般不得超过月总收入的50%。
   • 无固定收入者：可依据当年总收入或同行业平均收入，参照上述比例确定。
   • 特殊情况：若孩子因重大疾病、残疾等需额外支出，可主张增加抚养费。

三、可能面临的挑战与建议

1. 生父拒不配合：

   • 若生父拒绝支付抚养费，您可在胜诉后向法院申请强制执行，法院可采取查封、扣押、冻结财产等措施。
   • 若生父隐匿财产或转移资产，您可申请法院调查其财产线索，或通过律师协助调查。

2. 证据收集困难：

   • 提前保存所有与孩子支出相关的凭证，如医疗记录、教育费用单据等。
   • 若生父曾通过微信、短信等方式承认亲子关系或承诺支付费用，务必留存聊天记录作为证据。

3. 社会舆论压力：

   • 非婚生子女问题可能涉及道德评判，但法律明确保护其权利。您无需因社会舆论放弃维权，可专注于法律程序本身。

最后提醒：若您决定起诉，建议尽快行动，避免因拖延导致证据灭失或诉讼时效过期（抚养费请求权通常不受诉讼时效限制，但具体案件需结合实际情况判断）。如有进一步疑问或需协助准备诉讼材料，可直接向我咨询，我将为您提供专业支持。