结论：在您怀孕期间与现在的丈夫结婚，并不影响您与孩子亲生父亲之间的亲子关系认定及抚养费请求权。您有权单独或与现在的丈夫一起（但法律上主要是您作为法定代理人）向孩子亲生父亲提起诉讼，要求其支付抚养费。
法律背景与解释：
亲子关系与抚养义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务。这一义务不因父母婚姻关系的变更而消除。因此，无论您是否与现在的丈夫结婚，孩子亲生父亲都负有抚养孩子的法定义务。
抚养费请求权：
- 作为孩子的法定监护人（在孩子未成年且未由其他合适人选监护的情况下，通常由母亲担任），您有权代表孩子向其亲生父亲主张抚养费。抚养费的具体数额和支付方式，可以根据孩子的实际需要、父母双方的负担能力和当地的实际生活水平等因素，由法院酌情确定。
诉讼主体与程序：
- 在诉讼中，您通常是作为孩子的法定代理人出现，代表孩子行使权利。虽然您的现任丈夫在法律上不是孩子的生父，但他可以作为支持您的一方参与诉讼，提供必要的帮助和支持。然而，从法律程序上讲，抚养费诉讼的直接主体是您和孩子亲生父亲。
- 提起诉讼时，您需要准备相关证据，如孩子的出生证明、亲子关系鉴定（如果必要）、您与孩子亲生父亲的沟通记录（如短信、邮件等，证明对方未履行抚养义务）等。
特殊情况考虑：
- 如果孩子亲生父亲拒绝支付抚养费，且您无法通过协商解决，那么提起诉讼是维护孩子合法权益的有效途径。
- 在诉讼过程中，法院可能会考虑双方的经济状况、孩子的实际需要等因素，来裁决抚养费的数额和支付方式。
法律建议：
- 收集证据：在提起诉讼前，务必收集好所有能证明孩子与亲生父亲亲子关系以及对方未履行抚养义务的证据。
- 咨询专业律师：虽然我可以为您提供一般的法律指导，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在提起诉讼前，建议您咨询一位专业律师，以便更准确地评估案件情况、制定诉讼策略。
- 保持冷静与理性：在处理此类纠纷时，保持冷静与理性至关重要。避免情绪化的行为或言论，以免对案件产生不利影响。
可能法律后果：
- 如果法院认定孩子亲生父亲确实未履行抚养义务，那么对方将被判决支付相应的抚养费。
- 如果对方拒不执行法院判决，您还可以申请法院强制执行，包括但不限于查封、扣押、拍卖对方的财产等措施。
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