针对您提出的两个问题，我将分别进行解答：
可以。根据我国相关法律规定，非婚生子女的法律地位与婚生子女是平等的，他们享有同样的权利，包括要求生父或生母支付抚养费的权利。因此，即使母亲处于已婚状态，如果她所生育的孩子并非与现任丈夫所生，而是与另一男子（即孩子的生父）所生，那么母亲作为孩子的法定监护人，有权代表孩子向生父提起诉讼，要求其支付抚养费。抚养费的支付通常根据孩子的实际需要、生父的经济能力以及当地的生活水平等因素来确定。
这取决于具体情况。一般来说，如果母亲在婚姻关系存续期间与他人生子，这一行为本身并不直接构成犯罪。然而，如果这一行为涉及到重婚（即母亲在与现任丈夫婚姻关系存续期间，又与他人登记结婚或以夫妻名义共同生活），那么母亲就可能构成重婚罪，需要承担相应的刑事责任。重婚罪的认定需要满足一定的条件，包括有配偶者与他人以夫妻名义共同生活，且周围群众也认为他们是夫妻关系等。
另外，如果母亲在婚姻中与他人生子，且该行为对现任丈夫造成了精神上的伤害或其他损失，现任丈夫可以通过民事途径要求母亲承担相应的赔偿责任。但这并不涉及刑事犯罪问题。
综合建议：
对于第一个问题，如果母亲希望向孩子的生父追讨抚养费，建议先收集相关证据，如孩子的出生证明、生父的身份信息、生父与孩子之间的亲子关系证明等，然后咨询专业律师，了解具体的诉讼流程和注意事项，再向法院提起诉讼。
对于第二个问题，如果母亲担心自己的行为可能构成犯罪或引发其他法律纠纷，建议尽快咨询专业律师，了解自己的法律地位和可能面临的法律责任，以便及时采取措施避免或减少损失。
最后，如果您在婚姻家庭方面有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业、全面的法律建议。