结论：劳动合同到期后，如果单位不提前一个月告知劳动者不续签，且不存在用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同而劳动者不同意续订的情形，那么单位应当依法向劳动者支付经济补偿金，而非赔偿金。若单位未依法支付经济补偿金，劳动者有权通过法律途径维护自己的权益。

详细分析：

1. 经济补偿金的支付条件：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项的规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止时，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
   • 这意味着，如果单位决定不续签劳动合同，且没有维持或提高原劳动合同条件，那么单位就需要支付经济补偿金。

2. 经济补偿金的计算方式：

   • 经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
   • 这里的“月工资”指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
   • 计算公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（工作年限不足一年的按比例计算，如0.5年则支付半个月工资）。

3. 特殊情况下的经济补偿金标准：

   • 如果劳动者的月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿金的标准应按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。

4. 单位的法律责任：

   • 如果单位在劳动合同到期后未依法支付经济补偿金，劳动者可以向劳动争议仲裁机构申请仲裁，要求单位支付经济补偿金及可能的滞纳金或赔偿金（具体根据仲裁结果或法院判决）。
   • 单位还应遵守相关法律法规，及时处理劳动合同到期后的续签或终止事宜，避免不必要的法律纠纷。

5. 实际案例说明：

   • 假设张三在某公司工作了3年零8个月，劳动合同到期前公司通知不再续签，且没有维持或提高原劳动合同条件。那么，根据法律规定，公司应支付给张三4个月工资作为经济补偿（3年按3个月计算，8个月按1个月计算）。

建议：

• 作为劳动者，在劳动合同到期前应关注单位的续签或终止通知，并了解自己的权益。如果单位未依法支付经济补偿金，可以及时向劳动争议仲裁机构申请仲裁或向法院提起诉讼。
• 作为单位，应依法履行通知义务，并在劳动合同到期时及时处理续签或终止事宜。如果决定不续签劳动合同，应按规定支付经济补偿金，以避免不必要的法律纠纷和损失。

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