结论：故意伤害致人轻伤二级的案件，刑事责任部分不可以私了，但民事赔偿部分可以协商解决。以下是对此问题的详细分析：
一、刑事责任不可私了
法律定性：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体并造成轻伤二级的，构成故意伤害罪，应依法追究刑事责任。这意味着，犯罪行为已经触犯了刑法，必须由国家司法机关依照法定程序进行处理。
公诉性质：
- 故意伤害罪属于公诉案件，由公安机关立案侦查，检察机关提起公诉，法院进行审判。这一过程是法定的、强制性的，不受当事人意志的影响。即使双方达成和解或私了协议，也不能替代或阻止公诉程序的正常进行。
法律后果：
- 即使被害人表示谅解，犯罪嫌疑人也不能通过私了来逃避刑事责任。法院在量刑时会考虑被害人的谅解情况，但这并不等同于免除刑事责任。犯罪嫌疑人仍可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑罚。
二、民事赔偿可协商解决
赔偿范围：
- 被害人因犯罪行为遭受的物质损失，如医疗费、误工费、护理费、营养费、交通费等，有权提起附带民事诉讼要求赔偿。
和解协议：
- 双方可以就民事赔偿部分进行协商，达成和解协议。这种协议是合法的，且有助于缓解矛盾、促进社会和谐。只要协议不违反法律法规强制性规定，即为有效，双方应按约履行。
司法确认：
- 如果双方希望和解协议具有更强的法律效力，可以向人民法院申请司法确认。经法院审查确认有效的和解协议，一方不履行时，另一方可以申请强制执行。
三、刑事和解的可能性与限制
刑事和解的法律依据：
- 根据《刑事诉讼法》第二百八十八条，因民间纠纷引起的故意伤害罪（轻伤二级一般可能判处三年以下有期徒刑），若犯罪嫌疑人真诚悔罪并通过赔偿损失、赔礼道歉等方式获得被害人谅解，双方可以和解。
和解效果：
- 达成和解协议的案件，公安机关、人民检察院和人民法院可以依法对被告人从宽处理，包括提出从宽处罚建议或作出不起诉决定。
限制：
- 刑事责任不能完全免除。即使达成和解，最终是否定罪及量刑仍由司法机关根据案件具体情况决定。若犯罪情节恶劣，被告人仍可能被判处实刑。
四、私了的风险与弊端
法律风险：
- 私了可能掩盖犯罪事实，导致犯罪分子逃脱法律制裁，同时也可能损害被害人的合法权益。
证据风险：
- 一旦选择私了，相关证据可能因时间推移而灭失或难以收集，影响后续的法律程序。
社会风险：
- 私了可能引发新的矛盾和纠纷，甚至导致更严重的社会问题。
五、建议与指导
- 对于受害者而言：及时报警并配合公安机关的调查处理是保护自身权益的有效途径。通过法律程序，可以确保赔偿的合法性和执行力，避免私了带来的潜在风险。
- 对于犯罪嫌疑人而言：积极配合调查、真诚悔罪并主动赔偿损失是争取从轻处罚的重要因素。同时，应了解私了的法律限制和风险，避免因误解而陷入不必要的法律困境。
总结：故意伤害致人轻伤二级的案件，虽然在一定程度上存在民事赔偿部分协商解决的可能性，但刑事责任部分必须依法处理，不能私了。建议各方当事人遵循法律程序，通过合法途径解决纠纷，以确保自身权益得到妥善保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。