结论：在离婚的情况下，不抚养子女的一方不可以断绝与子女的关系，且必须履行抚养义务。若一方不履行抚养义务，另一方可以通过法律途径来维护子女的合法权益。
法律分析：
亲子关系的不可改变性：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十四条，父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。这意味着，无论父母是否离婚，他们与子女之间的血缘关系和法律上的亲子关系都是不可改变的。
- 离婚后，子女无论由父或者母直接抚养，仍是父母双方的子女。这一规定明确了亲子关系的持续性，即血缘关系是不可通过任何方式断绝的。
抚养义务的强制性：
- 离婚后，父母对于子女仍有抚养、教育、保护的权利和义务。这是法律对父母的基本要求，也是保障子女健康成长的重要基石。
- 若一方不履行抚养义务，另一方有权向法院起诉，要求对方履行抚养责任。法院将根据实际情况作出判决，并可能强制执行，以确保子女的合法权益得到维护。
现实与伦理考量：
- 允许一方随意断绝与子女的关系将对子女的身心健康和合法权益造成严重损害。子女需要来自父母双方的关爱和支持，这种情感联系对他们的成长至关重要。
- 家庭作为社会的基本单元，其稳定对于社会的和谐发展具有重要意义。承认和维护父母子女之间的关系，不仅有助于构建良好的家庭秩序，也是维护社会稳定的重要因素。
具体操作建议：
协商与调解：
- 在离婚过程中，父母应首先尝试通过协商或调解的方式解决子女的抚养问题。这有助于减少冲突和矛盾，确保子女的最佳利益得到保障。
法律援助与诉讼：
- 若协商无果，不直接抚养子女的一方拒绝履行抚养义务，另一方可以寻求法律援助，向法院提起诉讼，要求对方承担抚养责任。
- 在诉讼过程中，应提供充分的证据证明对方未履行抚养义务，以及这种行为对子女造成的损害。法院将依据相关法律法规，作出公正判决。
申请强制执行：
- 如果法院判决后对方仍不支付抚养费，可以向法院申请强制执行。法院将会采取措施强制对方履行支付抚养费的义务，如查封、扣押财产等。
可能面临的法律后果：
- 若一方有能力履行抚养义务而拒不履行，情节严重的，可能会构成拒不执行判决、裁定罪，面临刑事处罚。根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
总结与建议：
- 离婚后，不抚养子女的一方不能断绝与子女的关系，且必须履行抚养义务。这是法律对父母的基本要求，也是保障子女健康成长的重要基石。
- 若遇到对方不履行抚养义务的情况，应首先尝试协商与调解；若协商无果，可以寻求法律援助并提起诉讼；若法院判决后对方仍不履行，可以申请强制执行。
- 在整个过程中，应始终以子女的最佳利益为出发点，确保他们的身心健康和合法权益得到充分保障。
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