离婚后不给抚养费，不能起诉解除亲子关系。

离婚后，父母与子女之间的关系是基于血缘产生的，这种关系并不会因为离婚或者不给抚养费而消除。支付抚养费是不直接抚养子女一方的法定义务，其目的是为了保障子女能够健康成长，获得必要的生活、教育等资源。

如果一方拒绝支付抚养费，另一方有权以子女的名义向法院提起诉讼，要求对方履行支付义务。法院会根据具体情况，如对方的收入、子女的实际需求等，判定抚养费数额及支付方式。如果对方仍不履行判决，可以申请强制执行。

而断绝亲子关系，在法律上是不被认可的。这种基于自然血缘形成的身份关系具有不可变更性。法律保障未成年人的权益，确保他们能在稳定的家庭关系和经济支持下成长，不会因父母一方的不当行为或意愿就解除亲子关系。

因此，不能以不支付抚养费为由申请断绝关系，而应通过合法途径来保障子女的权益。如果你在这方面遇到了问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。