结论：在老人被其中一个儿子扶养且生病去世的情况下，另一个儿子是否需要承担经济责任，需根据具体情况判断，主要包括是否形成抚养关系、是否存在遗嘱或法定继承情况以及赡养义务的履行情况等。以下是对此问题的详细分析：

1. 抚养关系与继承权：

   • 如果两个儿子均与老人形成了抚养关系，那么他们均享有继承权。在老人去世后，其遗产应由所有继承人共同继承，除非老人有遗嘱指定了特定的继承人。
   • 若其中一个儿子在老人生前承担了主要的扶养义务，这可能会在遗产分配时作为考虑因素，但并不意味着另一个儿子就完全免除了经济责任。特别是在老人去世后，如果遗产不足以支付其医疗费用等债务，所有继承人原则上应在继承遗产的范围内承担清偿责任。

2. 遗嘱与法定继承：

   • 如果老人留下了遗嘱，且遗嘱中明确规定了遗产的分配方式以及债务的承担方式，那么应遵循遗嘱的约定。
   • 在没有遗嘱的情况下，应按照法定继承的顺序和规则进行遗产分配。此时，所有继承人（包括两个儿子）均有可能需要承担一定的经济责任，具体取决于遗产的数额和债务的金额。

3. 赡养义务的履行：

   • 赡养义务是法定的，不因老人是否由某个子女单独扶养而免除其他子女的赡养义务。赡养义务包括经济上的供养、生活上的照料和精神上的慰藉等方面。
   • 如果另一个儿子在老人生前未履行赡养义务，这可能会在法律上产生一定的后果，如被要求补付赡养费等。但这并不直接决定其在老人去世后是否需要承担经济责任，而是作为考虑其道德和法律责任的一个因素。

4. 具体经济责任的承担：

   • 在老人去世后，如果其遗产不足以支付医疗费用等债务，且没有遗嘱指定债务承担方式，那么所有继承人应在继承遗产的范围内承担清偿责任。这意味着，如果另一个儿子继承了遗产，他可能需要根据继承的份额来承担相应的债务。
   • 如果老人没有遗产或遗产不足以清偿债务，且没有其他经济来源来支付这些费用，那么从法律上讲，另一个儿子并没有直接的义务来承担这些费用。然而，从道德和家庭和谐的角度出发，家庭成员之间可能会协商分担这些费用。

建议：

• 在处理此类家庭财产纠纷时，建议家庭成员之间首先进行协商，尝试达成一个公平合理的解决方案。
• 如果协商无果，可以寻求法律援助或咨询专业律师，以了解具体的法律权利和义务，并寻求法律途径解决纠纷。
• 在任何情况下，都应尊重老人的意愿和遗产分配方案（如果有的话），并遵循法律的规定和程序来处理遗产和债务问题。

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