针对您提出的问题“没给员工签劳动合同员工要辞职怎么办”，以下是我为您提供的详细解答：
一、确认劳动关系
首先，需要明确的是，即使没有签订书面劳动合同，只要员工实际上为公司提供了劳动，且公司接受了这种劳动，那么双方之间就存在事实劳动关系。为了证明这一点，您可以收集以下证据：
- 工资支付记录：如银行转账记录、工资条等，这些能显示公司向员工支付工资的情况。
- 工作证件：如工作证、服务证等，上面印有员工信息和公司名称。
- 考勤记录：无论是纸质还是电子形式，都能证明员工的出勤情况。
- 工作邮件、聊天记录：这些能显示员工与公司之间的日常工作交流。
- 同事证言：其他员工的证言也可以作为辅助证据。
二、员工辞职时的处理
结算应得报酬：
- 公司应支付员工截至离职日的所有工资、加班费、奖金等应得报酬。
- 如果公司存在拖欠工资的情况，员工有权通过劳动仲裁主张补偿。
工作交接与离职手续：
- 要求员工归还公司财物，如电脑、门禁卡等。
- 办理社保减员、公积金封存等离职手续。
避免法律风险：
- 公司不应以“未签合同”为由克扣员工工资或拒绝办理离职手续，否则可能引发劳动争议。
三、公司可能面临的法律责任
未签劳动合同的双倍工资：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，公司自用工之日起超过一个月不满一年未与员工订立书面劳动合同的，应向员工每月支付二倍的工资。
经济补偿金：
- 如果员工因公司未签劳动合同而辞职，且符合《劳动合同法》第三十八条规定的情形（如未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等），员工有权要求公司支付经济补偿金。
四、建议的处理流程
与员工协商：
- 尝试与员工沟通，了解其辞职原因，并协商解决未签劳动合同的问题。
- 如果员工同意，可以尽快补签劳动合同，以避免进一步的法律风险。
寻求第三方调解：
- 如果协商无果，可以向本单位劳动争议调解委员会、基层人民调解组织或乡镇、街道设立的劳动争议调解机构申请调解。
准备应对劳动仲裁或诉讼：
- 如果调解不成，员工可能会申请劳动仲裁或提起诉讼。
- 公司应准备好相关证据，如工资支付记录、工作证件、考勤记录等，以证明劳动关系的存在和公司的合法权益。
五、合规建议
及时补签合同：
- 公司应在用工之日起一个月内与员工签订书面劳动合同，以避免双倍工资的风险。
完善用工管理：
- 建立电子签约系统，留存合同文本及签署记录。
- 定期核查劳动合同期限，提前续签或终止。
强化法律意识：
总之，面对员工未签劳动合同而辞职的情况，公司应积极应对，确认劳动关系，结算应得报酬，办理离职手续，并准备应对可能的劳动仲裁或诉讼。同时，公司也应加强用工管理，及时补签合同，以降低法律风险。