在母亲去世后，若未留下合法有效遗嘱，父亲和孩子（包括婚生子女、非婚生子女、养子女及有扶养关系的继子女）均作为第一顺序继承人，享有同等的继承权。以下是对这一问题的详细分析：

一、继承权的法律依据

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产的继承顺序明确为：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。在存在第一顺序继承人的情况下，第二顺序继承人不参与继承。因此，在母亲去世后，父亲和孩子作为第一顺序继承人，将共同继承母亲的遗产。

二、“子女”与“配偶”的定义

• 子女：包括婚生子女、非婚生子女、养子女以及有扶养关系的继子女。这意味着，无论孩子是否为母亲亲生，只要与母亲存在法律上的亲子关系或扶养关系，都享有继承权。
• 配偶：指的是与被继承人合法登记结婚的另一方。在本题中，即指父亲。

三、遗嘱的优先性

在确定继承人时，首先需考虑是否存在合法有效的遗嘱。若母亲去世前留有合法遗嘱，并明确指定了继承人，则遗嘱中指定的继承人将优先于法定继承人继承遗产。遗嘱必须符合法律规定的形式和内容要求，否则可能被视为无效。

四、无遗嘱或遗嘱无效情况下的继承

在没有有效遗嘱或遗嘱被认定无效的情况下，应依据法律规定的继承顺序来确定继承人。此时，父亲作为母亲的配偶，与孩子一同成为第一顺序的继承人。遗产将依法在他们之间按照法定比例或协商结果进行分配。

五、遗产的分配原则

• 均等分配：一般情况下，同一顺序继承人继承遗产的份额应当均等。
• 特殊照顾：对于生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，分配遗产时应予以照顾。
• 多分或少分：对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，可以多分；有扶养能力和条件但不尽扶养义务的继承人，应当不分或少分。
• 协商分配：继承人之间也可以协商同意不均等分配遗产。

六、实际操作中的注意事项

• 确认继承人身份：在处理遗产继承问题时，首先需要确认所有第一顺序继承人的身份和数量，以确保遗产的合法分配。
• 收集证据：为了证明自己的继承权，继承人可能需要收集相关的证据，如出生证明、收养证明、婚姻证明等。
• 协商或诉讼：如果继承人之间对遗产分配存在争议，可以通过协商或诉讼的方式解决。在诉讼过程中，法院将根据法律规定和实际情况作出判决。

举例说明：假设母亲去世后留下一套房产和一定数额的存款，且未留下遗嘱。此时，父亲和孩子（假设只有一个孩子）作为第一顺序继承人，将共同继承这套房产和存款。如果父亲和孩子协商一致，可以按照均等分配的原则将房产和存款各分一半；如果协商不成，则可以通过诉讼的方式解决，法院将根据法律规定和实际情况作出判决。

综上所述，母亲去世后，父亲和孩子均作为第一顺序继承人享有同等的继承权。在实际操作中，应综合考虑法律规定、家庭实际情况及继承人之间的协商结果来确定遗产的具体分配方式。如果您在处理遗产继承问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。