针对私人企业员工因公出差遭遇车祸死亡的情况，其赔偿问题主要涉及工伤保险赔偿和交通事故责任赔偿两个方面，以下为详细分析：
一、工伤保险赔偿
赔偿前提：
- 员工与企业之间存在劳动关系。
- 员工是在因公出差期间遭遇车祸，且该车祸被认定为工伤。
赔偿项目：
- 一次性工亡补助金：根据《工伤保险条例》的相关规定，一次性工亡补助金标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
- 丧葬补助金：为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
- 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
申请流程：
- 企业应在事故发生后30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 若企业未按时提出申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故发生后1年内直接提出申请。
- 工伤认定后，企业或工伤职工可向社会保险经办机构申请工伤保险待遇。
二、交通事故责任赔偿
赔偿前提：
- 车祸是由第三方（如其他车辆、行人等）的责任造成的。
- 员工或其家属能够证明第三方存在过错，并承担相应的赔偿责任。
赔偿项目：
- 医疗费：包括抢救费、医药费、住院费等。
- 误工费：若员工在车祸后存活一段时间并产生误工损失，可要求赔偿。
- 死亡赔偿金：根据当地上一年度城镇居民人均可支配收入或农村居民人均纯收入标准，按20年计算（但60周岁以上的，年龄每增加1岁减少1年；75周岁以上的，按5年计算）。
- 被扶养人生活费：根据扶养人丧失劳动能力程度，按照当地上一年度城镇居民人均消费性支出或农村居民人均年生活消费支出标准计算。
- 精神损害抚慰金：根据具体情况，由法院酌情判决。
- 其他费用：如丧葬费、交通费、住宿费等，根据实际情况确定。
赔偿流程：
- 员工或其家属应首先向交警部门报案，并等待交警出具交通事故责任认定书。
- 根据责任认定书，确定责任方，并向责任方提出赔偿要求。
- 若责任方拒绝赔偿或赔偿金额不满意，员工或其家属可向法院提起诉讼，要求责任方承担赔偿责任。
三、综合赔偿与注意事项
综合赔偿：
- 在员工因公出差遭遇车祸死亡的情况下，其家属可同时获得工伤保险赔偿和交通事故责任赔偿。但需注意，工伤保险赔偿与交通事故责任赔偿中的部分项目（如医疗费、丧葬费等）可能存在重复，此时应根据“就高不就低”的原则进行赔偿，即选择赔偿金额较高的项目进行赔偿，避免重复获赔。
注意事项：
- 员工或其家属应及时收集并保存相关证据，如交通事故责任认定书、医疗记录、工资单等，以便在申请赔偿时提供有力支持。
- 在处理赔偿事宜时，建议咨询专业律师，以确保自身权益得到充分保障。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供更详细、更专业的法律建议。