核心结论：雇佣司机因基础病发作导致的赔偿问题，需根据具体情况判断是否属于工伤，进而确定赔偿主体和范围。以下是具体分析：

1. 是否构成工伤的判断
   根据《工伤保险条例》第十五条，若司机在工作时间和工作岗位上，因基础病发作且在48小时内经抢救无效死亡，可视为工伤。但若未达到这一条件（如未死亡或超过48小时），则需进一步分析：

   • 若基础病与工作无直接关联（如司机本身患有高血压，因情绪激动或劳累诱发疾病），通常不认定为工伤，雇主无需承担工伤赔偿责任。
     
   • 若基础病发作与工作存在因果关系（如长期驾驶导致腰椎间盘突出发作），可能被认定为职业病或与工作相关的伤害，需通过劳动能力鉴定确认。

2. 非工伤情况下的赔偿主体

   • 雇主责任：若雇主未尽到安全保障义务（如未安排合理休息、未提供必要医疗条件），可能需承担部分赔偿责任，但需证明雇主存在过错。
     
   • 司机自身责任：若疾病完全由个人体质或既往病史导致，且雇主无过错，司机需自行承担医疗费用等损失。
     
   • 第三方责任：若疾病发作导致交通事故，且第三方存在过错（如其他车辆违规驾驶），可向第三方主张侵权赔偿。

3. 赔偿范围与流程

   • 工伤赔偿：包括医疗费、丧葬补助金、供养亲属抚恤金、一次性工亡补助金等（若构成工伤）。
     
   • 非工伤赔偿：可能包括医疗费、误工费（需证明雇主过错）、护理费等，但范围通常小于工伤赔偿。
     
   • 流程：先申请工伤认定（若符合条件），再通过劳动仲裁或诉讼解决；非工伤情况可直接协商或起诉雇主/第三方。

建议：

• 雇主应完善用工管理，如定期体检、合理安排工作时间、购买雇主责任险等，降低风险。
  
• 司机若因病受伤，应及时保留医疗记录、工作证据等，以便后续维权。
  
• 具体案件需结合证据和当地司法实践判断，如有疑问可直接向我咨询细节。