当员工在劳动合同快到期时仍在请病假，这是一个涉及劳动法律法规及公司管理规定的问题，需要细致且合规地处理。以下是对此问题的详细解答：
一、合同期限的自动延续
根据《劳动合同法》的相关规定，若员工在合同期满前请病假且处于法定医疗期内，劳动合同将自动延续至医疗期结束时终止。医疗期的具体时长依据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，例如：
- 实际工作年限十年以下，本单位工作年限五年以下为3个月；五年以上为6个月。
- 实际工作年限十年以上，本单位工作年限五年以下为6个月；五年以上十年以下为9个月；以此类推，最长可达24个月。
二、医疗期内的待遇与义务
在医疗期内，员工享有病假工资或疾病救济费，其标准不低于当地最低工资标准的80%。同时，员工有义务提供正规医疗机构出具的病假证明，以证实病假的真实性和合理性。用人单位则需支付这些费用，并不得随意终止劳动合同，除非员工存在严重过错。
三、医疗期满后的处理
单位终止合同：
- 医疗期结束后，若员工不能从事原工作或另行安排的工作，用人单位可提前三十日以书面形式通知员工，或额外支付一个月工资后解除劳动合同。
- 在此情况下，用人单位需按照员工在本单位的工作年限支付经济补偿，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
双方续签合同：
- 医疗期结束后，双方也可以协商一致续签劳动合同。
- 如果用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订，而员工不同意续订的，用人单位无需支付经济补偿。
四、特殊情况与宽限期
- 若员工在医疗期满后仍不能从事原工作或另行安排的工作，且经调整工作岗位后仍不能胜任，用人单位可依法解除劳动合同并支付经济补偿。
- 即使医疗期已届满，但员工仍在病假中无法返岗，用人单位应考虑给予一定的宽限期，以便员工康复和重新找工作。在此期间，用人单位应继续履行劳动合同，支付相应工资和福利待遇。
五、实际操作建议
- 查阅公司规章制度：了解公司关于请病假的具体规定，包括请假流程、所需证明等。
- 及时沟通：与员工保持沟通，了解其病情及医疗期情况，以便合理安排后续工作。
- 合规处理：根据劳动法律法规及公司规章制度，合规处理员工的病假申请及合同延续事宜。
- 保留证据：妥善保存员工的病假证明、医疗期记录等相关证据，以备不时之需。
综上所述，当员工在劳动合同快到期时仍在请病假，用人单位需严格遵守劳动法律法规，确保员工的合法权益得到保障，同时也应维护自身的管理权利。通过及时沟通、合规处理和保留证据等措施，可以有效避免法律纠纷和经济损失。