当员工在病假期间劳动合同到期时，根据《劳动合同法》及相关规定，其权益会受到法律的特殊保护。以下是详细的处理方式和相关法律依据：
一、劳动合同自动延续至医疗期结束
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十五条，劳动合同期满时，若劳动者处于规定的医疗期内，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。这意味着，如果员工的劳动合同在病假期间到期，且该员工仍处于法定医疗期内，合同并不会立即终止，而是会自动延续到医疗期结束或员工康复能够返回工作岗位之时。
具体解释：例如，若员工的劳动合同于6月30日到期，但其处于为期3个月的医疗期内，则劳动合同会自动延续至医疗期结束。在此期间，用人单位不得随意解除劳动合同，并需继续履行劳动合同，支付相应的工资和福利待遇。
二、医疗期结束后的处理
单位终止合同：
- 条件：医疗期结束后，劳动合同延续的情形消失。
- 经济补偿：此时用人单位可以选择终止劳动合同，但需按照《劳动合同法》第四十七条的规定支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
双方续签合同：
- 条件：医疗期结束后，用人单位与劳动者双方可以协商一致续签劳动合同。
- 无需补偿情形：如果用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订的，用人单位无需支付经济补偿。
三、特殊情况处理
- 不能从事原工作或另行安排的工作：如果劳动者在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。同时，需按照上述经济补偿规定支付经济补偿。
四、医疗补助费的支付义务（如适用）
- 核心规定：依据原劳动部《关于实行劳动合同制度若干问题的通知》的相关规定，除按特定情形解除合同的外，用人单位可能需按一定标准支付医疗补助费。但这一规定并非所有情况下都适用，具体需根据地方规定和实际情况判断。
- 关键点解析：若适用，医疗补助费的支付标准通常与劳动者在单位的工龄相关，且该费用独立于经济补偿金。
五、实际操作建议
- 证据留存：劳动者应保存医疗证明、病假单等材料，以证明其处于医疗期内。用人单位也需保留合同期限记录及与员工的沟通文件。
- 协商优先：双方可就医疗期延长、岗位调整等事宜进行协商，以达成共识并避免争议升级。
- 法律咨询：遇复杂情况时，建议及时向专业律师或劳动监察部门寻求帮助，以确保处理方式的合法性和合理性。
综上所述，病假期间合同到期的处理方式应严格遵循法律法规的规定，确保员工的合法权益得到充分保障。用人单位在处理此类情况时，应谨慎、合法、合理地进行操作，并与员工进行积极沟通协商。