结论：前夫把孩子丢给您，不一定构成遗弃罪，是否构成遗弃罪需要结合具体情节来判断。下面我从遗弃罪的构成要件、可能不构成遗弃罪的情形以及您后续可以采取的措施这几个角度来详细分析。

遗弃罪的构成要件

根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条的规定，遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。构成遗弃罪需要满足以下几个要件：

1. 主体要件：行为人必须是负有扶养义务的人，如父母对子女、子女对父母等。
2. 主观要件：行为人必须出于故意，即明知自己有扶养义务而拒绝扶养。
3. 客体要件：侵犯的客体是被扶养人在家庭中的平等权利和受扶养的权利。
4. 客观要件：在客观方面表现为对年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，应当扶养而拒不扶养，情节恶劣的行为。这里的“情节恶劣”通常指由于遗弃造成被害人重伤、死亡等严重后果，或者有遗弃行为屡教不改，或者遗弃手段特别恶劣等情形。

可能不构成遗弃罪的情形

1. 如果前夫只是暂时将孩子交给您照顾，且他本身并没有拒绝扶养的意思：比如他因为工作原因需要出差一段时间，或者他身体不适暂时无法照顾孩子，这种情况下他并没有违反扶养义务，因此不构成遗弃罪。
2. 如果前夫虽然将孩子交给您，但他仍然承担了孩子的部分或全部生活费用：这表明他并没有完全拒绝扶养孩子，只是在实际照顾方面有所欠缺，这种情况下也很难认定他构成遗弃罪。
3. 如果前夫的行为尚未达到“情节恶劣”的程度：比如他只是偶尔将孩子交给您照顾，没有造成孩子重伤、死亡等严重后果，也没有屡教不改或手段特别恶劣等情形，那么他的行为可能不构成遗弃罪。

您后续可以采取的措施

1. 与前夫沟通：首先，您可以尝试与前夫沟通，了解他为何将孩子交给您照顾，以及他是否愿意继续承担扶养义务。如果沟通无果，您可以考虑采取其他措施。
2. 寻求法律援助：如果您认为前夫的行为已经构成了遗弃罪，或者您无法独自承担孩子的扶养责任，您可以向当地法律援助机构或律师寻求帮助。他们可以为您提供法律咨询和代理服务，帮助您维护自己和孩子的合法权益。
3. 向法院提起诉讼：如果前夫拒绝扶养孩子且情节恶劣，您可以向法院提起诉讼，要求前夫承担扶养责任。法院会根据具体情况判决前夫是否构成遗弃罪，并责令其承担相应的法律责任。

最后，我想强调的是，每个家庭的情况都是独特的，法律问题的解决也需要结合具体情况来分析。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。我会尽我所能为您提供专业、全面的法律服务。