结论：在劳动合同到期后半个月未续签且被单位通知辞退的情况下，您有权要求单位支付双倍工资差额以及违法解除合同的赔偿金。
详细分析
合同到期未续签的法律后果
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。在您的情况下，合同到期后半个月未续签，虽然未满一个月，但若单位在后续的一个半月内（即从合同到期日起算的一个半月内）仍未与您续签，则您有权要求单位支付这期间的双倍工资差额（扣除已支付的正常工资部分）。不过，由于您提到的是“半个月未续签”，若这半个月内单位并未实际用工或未产生劳动关系延续的实质行为，则严格从法律条文出发，可能不直接适用双倍工资的规定，但实践中，若单位在合同到期后继续安排工作而未续签，往往会被视为劳动关系延续，从而可能需支付双倍工资差额（具体需结合实际情况判断）。但更关键的是，若单位在合同到期后未及时续签且后续辞退，其未续签的行为可能构成违法，需承担相应责任。
- 更重要的是，若单位在合同到期后未与您续签，且继续让您工作，而后又无正当理由辞退您，这通常被视为违法解除合同。
违法解除合同的赔偿
- 根据《劳动合同法》第四十八条和第八十七条，如果单位在没有合法理由的情况下将您辞退，这构成违法解除合同。您可以要求单位继续履行合同或选择获得赔偿金。
- 赔偿金的标准是经济补偿标准的两倍。经济补偿按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
维权措施
与单位协商：
- 首先，您可以尝试与单位进行友好协商，提出您的合理诉求，包括支付可能的双倍工资差额（若适用）和违法解除合同的赔偿金。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会提起仲裁申请。
- 在申请仲裁时，需要提交相关证据材料，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等，以证明您与单位存在劳动关系以及单位存在违法行为。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼，进一步维护自己的权益。
注意事项
保留证据：
- 在整个过程中，务必注意保留好所有与劳动关系相关的证据材料，这些证据将在维权过程中发挥关键作用。
及时行动：
- 劳动争议的解决有时效限制，因此一旦发现权益受到侵害，应尽快采取行动，以免错过最佳维权时机。
示例说明：假设您在单位工作了2年，合同到期后半个月未续签且被辞退。那么，您有权要求单位支付的经济补偿为2个月工资（按工作年限计算），而由于单位是违法解除合同，所以您实际可以获得的赔偿金为4个月工资（经济补偿的两倍）。同时，若合同到期后单位继续安排您工作且未续签的时间超过一个月（从合同到期日起算），您还有权要求单位支付这期间的双倍工资差额（具体数额需根据实际工资情况计算）。
最后建议：由于劳动争议案件往往涉及复杂的法律关系和证据收集，建议您在维权过程中咨询专业律师（即向我咨询）的意见，以确保您的权益得到充分保障。