当人社部门在受理工伤认定申请后，发现申请人与伤者之间不存在劳动关系时，处理方式需依据相关法律法规及具体情形来综合判断。以下是对此问题的详细解答：
一、一般原则：劳动关系是工伤认定的前提
通常情况下，社会保险行政部门认定职工工伤，是以职工与用人单位之间存在劳动关系为前提的。这是工伤认定的基本原则，也是保障劳动者权益的重要基础。
二、特殊情形：法律拟制的工伤责任主体
然而，在特定情形下，即使不存在劳动关系，用人单位也可能成为工伤保险责任的承担主体。这些特殊情形主要包括：
违法转包、分包：根据《人力资源和社会保障部关于执行<工伤保险条例>若干问题的意见》第七条，具备用工主体资格的承包单位违反法律、法规规定，将承包业务转包、分包给不具备用工主体资格的组织或者自然人，该组织或者自然人招用的劳动者从事承包业务时因工伤亡的，由该具备用工主体资格的承包单位承担用人单位依法应承担的工伤保险责任。
挂靠经营：如《最高人民法院关于审理工伤保险行政案件若干问题的规定》第三条第一款第五项所述，个人挂靠其他单位对外经营，其聘用的人员因工伤亡的，被挂靠单位为承担工伤保险责任的单位。
其他特殊情形：如职工与两个或两个以上单位建立劳动关系，工伤事故发生时，职工为之工作的单位为承担工伤保险责任的单位；劳务派遣单位派遣的职工在用工单位工作期间因工伤亡的，派遣单位为承担工伤保险责任的单位等。
三、具体处理流程
调查核实：人社部门在受理工伤认定申请后，应首先调查核实申请人与伤者之间是否存在劳动关系。这包括查阅劳动合同、工资支付记录、工作证、考勤记录等证据材料。
认定工伤责任主体：若经调查核实，申请人与伤者之间不存在劳动关系，但符合上述特殊情形的，人社部门应依法认定相应的工伤责任主体。这通常涉及对转包、分包、挂靠等关系的审查，以及确定最后一家具备用工主体资格的单位。
作出工伤认定决定：根据调查核实结果和法律法规规定，人社部门应作出工伤认定决定，明确工伤责任主体和工伤待遇支付义务。
监督执行：人社部门还应监督工伤责任主体按照工伤认定决定和相关法律法规规定，及时足额支付工伤待遇。若工伤责任主体拒不支付，劳动者可依法申请劳动仲裁或提起诉讼。
四、案例参考
以您提供的案例为例，宋某虽与A物流公司之间不存在劳动关系，但因其受实际车主吴某某雇佣，且车辆挂靠至A物流公司经营，根据《最高人民法院关于审理工伤保险行政案件若干问题的规定》第三条第一款第五项的规定，A物流公司应作为承担工伤保险责任的单位。最终，法院也判决A物流公司支付宋某各项工伤保险待遇费用。
五、建议与提醒
对于用工单位而言，应做到合法、合规经营，尽量避免触发法律拟制的用工主体责任。同时，建议用工单位加强用工管理，完善劳动合同制度，确保与劳动者之间建立清晰、明确的劳动关系。对于劳动者而言，若在工作中发生工伤事故，应及时向人社部门申请工伤认定，并保留好相关证据材料，以维护自身合法权益。