关于派遣单位签订两次劳动合同后申请人不续签劳动合同是否应支付终止补偿金的问题，结论如下：
若派遣单位维持或提高条件续订，劳动者不续签：在此情况下，派遣单位无需支付经济补偿。因为根据《劳动合同法》的相关规定，只有当用人单位不续签或降低条件续签时，才需要支付经济补偿。若派遣单位已经维持或提高了续订条件，而劳动者选择不续签，则派遣单位没有支付经济补偿的义务。
若派遣单位降低条件续订，劳动者不续签：在此情况下，派遣单位应当支付经济补偿。因为派遣单位降低续订条件，实际上是对劳动者权益的一种损害，劳动者有权拒绝续签并要求经济补偿。经济补偿的计算方式通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准进行计算。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
详细分析：
劳动合同到期与续签：根据《劳动合同法》第四十六条第五项的规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同期满终止时，用人单位应向劳动者支付经济补偿。这一条款明确了在劳动合同到期时，用人单位和劳动者在续签问题上的权利和义务。
经济补偿的计算：经济补偿的计算主要依据劳动者在本单位的工作年限和月工资标准。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。这一规定确保了经济补偿的公平性和合理性。
特殊情况的处理：在实际操作中，可能会遇到一些特殊情况，如劳动者在劳动合同到期前已经找到新的工作、劳动者因个人原因不愿意继续工作等。这些情况下，劳动者选择不续签劳动合同，派遣单位通常无需支付经济补偿。但关键在于，这些选择必须是劳动者自愿的，且没有受到派遣单位的胁迫或误导。
建议与注意事项：
保留相关证据：无论是派遣单位还是劳动者，在处理劳动合同续签问题时，都应妥善保留相关证据，如劳动合同、工资条、续签通知等。这些证据在发生纠纷时将起到至关重要的作用。
及时沟通协商：在劳动合同到期前，派遣单位和劳动者应及时沟通协商续签事宜。这有助于避免不必要的纠纷和误解，确保双方的权益得到保障。
依法维权：如果派遣单位未按时支付经济补偿金或存在其他违法行为，劳动者可以通过劳动仲裁或诉讼等方式进行维权。在维权过程中，劳动者应依法行事，确保自己的权益得到最大程度的保障。
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