结论：公司不可以随意辞退因未上保险而受伤无法上班的老人，否则可能构成违法解除劳动合同，需承担相应法律责任。但具体是否构成违法辞退，需结合实际情况判断。

1. 从社会保险的角度分析

   • 根据《社会保险法》和《劳动合同法》的相关规定，用人单位为劳动者缴纳社会保险是法定义务。公司未给老人上保险，本身就违反了法律规定。在此情况下，老人因未享受工伤保险待遇而受伤无法上班，公司不能以此为由辞退老人。如果公司辞退，老人可以主张公司违法解除劳动合同，要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准为经济补偿金的二倍，经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 从受伤性质和医疗期的角度分析

   • 如果老人受伤属于工伤，根据《工伤保险条例》的规定，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。停工留薪期一般不超过12个月，伤情严重或者情况特殊，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认，可以适当延长，但延长不得超过12个月。在停工留薪期内，公司不得辞退老人。
   • 如果老人受伤不属于工伤，而是自身疾病等原因导致无法上班，老人可能享有医疗期。在医疗期内，公司同样不得辞退老人。医疗期的期限根据劳动者在本单位的工作年限和实际参加工作年限确定，一般为3个月到24个月不等。医疗期内，公司需按照规定支付病假工资或疾病救济费。

3. 从公司辞退的合法程序角度分析

   • 即使老人存在某些不符合录用条件、严重违反公司规章制度等法定可以辞退的情形，公司辞退老人也需遵循合法程序。例如，需提前通知老人（根据具体情况可能是提前30日以书面形式通知或者额外支付一个月工资），并说明辞退理由，同时需将辞退决定通知工会（如有工会）。如果公司未遵循合法程序辞退老人，也可能构成违法解除劳动合同。

建议：

• 老人可以与公司协商，要求公司继续履行劳动合同，支付停工留薪期工资或病假工资，并补缴社会保险。
• 如果协商不成，老人可以向当地劳动监察部门投诉，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，老人应注意保留相关证据，如劳动合同、工资条、医疗证明等，以便在需要时提供证明。