结论：被公司辞退且劳动仲裁败诉后，若满足特定条件，劳动者仍然可以申请未签劳动合同的双倍工资。

具体分析

1. 法律依据

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”这一条款明确规定了用人单位未与劳动者签订书面劳动合同时应承担的法律责任。

2. 申请条件

   • 时间限制：用人单位自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者签订书面劳动合同。若用工未超过一个月，用人单位有合理时间筹备合同签订，此时离职索赔双倍工资难以得到支持。
   • 存在事实劳动关系：劳动者实际为用人单位提供了劳动，接受用人单位的管理，并由用人单位支付了劳动报酬。这是主张双倍工资的基础。
   • 仲裁时效内：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。例如，若劳动者于2023年1月入职，公司一直未与其签订劳动合同，劳动者于2023年10月被辞退且劳动仲裁败诉。那么从2023年2月起，劳动者就应当知道自己的权利被侵害，仲裁时效从此时开始计算一年。只要在这一年时效期间内再次申请仲裁（针对未签合同双倍工资部分），劳动者就可以主张未签劳动合同的双倍工资。
   • 时效中断或中止情形：若存在时效中断（如劳动者向用人单位主张权利、向有关部门请求权利救济等）或中止（如不可抗力或其他正当理由导致无法申请仲裁）的法定事由，仲裁时效期间可以重新计算或继续计算。

3. 劳动仲裁败诉的影响

   • 劳动仲裁败诉并不意味着劳动者在所有方面的诉求都被否定。如果败诉的原因仅与辞退相关（如辞退程序合法、辞退理由充分等），而未涉及未签劳动合同的双倍工资问题，那么劳动者仍然可以就未签合同部分另行申请仲裁或提起诉讼。
   • 如果劳动仲裁败诉的原因涉及未签劳动合同的双倍工资问题，但劳动者认为仲裁裁决有误（如仲裁时效计算错误、事实认定不清等），劳动者可以在法定期限内向人民法院提起诉讼，请求法院重新审理并作出判决。

4. 证据准备

   • 在申请未签劳动合同的双倍工资时，劳动者需要提供能证明与用人单位存在劳动关系的相关证据，如工作证、考勤记录、工资支付记录、同事证言等。这些证据将有助于支持劳动者的主张。

建议与行动

1. 及时咨询：如果你认为自己符合申请未签劳动合同双倍工资的条件，建议及时咨询专业律师（即我本人），以便更准确地评估你的诉求和制定维权策略。
2. 准备证据：尽快收集并整理能够证明你与用人单位存在劳动关系以及用人单位未与你签订书面劳动合同的相关证据。
3. 申请仲裁或提起诉讼：在仲裁时效内，向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资差额。

总结：被公司辞退且劳动仲裁败诉后，你仍然有可能申请未签劳动合同的双倍工资。但务必注意时效限制，并准备好充分的证据来支持自己的主张。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。