结论：未签订书面劳动合同的情况下，用人单位（理发店）不能随意开除员工，否则可能面临违法解除劳动合同的法律风险。 以下是具体分析：

1. 未签合同是否影响劳动关系认定
   根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。但若未签订书面合同，只要存在事实劳动关系（如实际提供劳动、接受管理、领取报酬等），劳动关系依然成立。此时，用人单位仍需遵守劳动法规定，不能随意解除劳动关系。

2. 开除员工的合法性条件
   即使未签合同，用人单位解除劳动关系也需符合法定情形，例如：

   • 员工存在严重违反规章制度（如偷窃、旷工等）；
     
   • 员工不能胜任工作，经培训或调岗后仍无法胜任；
     
   • 客观情况发生重大变化导致合同无法履行（如店铺倒闭）。
     若无法证明存在上述情形，开除员工可能构成违法解除，需支付赔偿金（按经济补偿标准的2倍计算）。

3. 未签合同的额外法律责任
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月未签书面合同的，需向员工支付双倍工资差额（最多11个月）。若开除员工时仍未补签合同，这一责任仍需承担。

4. 实务建议

   • 对用人单位：立即补签书面合同，明确双方权利义务；若需解除劳动关系，务必收集合法依据（如违纪证据、考核记录等），并履行通知工会等程序。
     
   • 对员工：保留工作证据（如工资条、考勤记录、工牌等），若被违法开除，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，主张赔偿金及未签合同的双倍工资。

总结：未签合同不等于可以随意开除，用人单位需谨慎处理劳动关系，避免法律风险。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。