结论：根据您描述的情况，工作三个固定期限劳动合同共九年到期后，您有权要求签订无固定期限劳动合同，公司若不同意，可能构成违法。
详细分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，用人单位与劳动者协商一致，可以订立无固定期限劳动合同。有下列情形之一，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：……（三）连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的。
- 在您的情况下，已经连续订立了三次固定期限劳动合同（假设每次合同期限相同，且累计达到九年），且没有提及存在劳动合同法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等），因此您有权要求签订无固定期限劳动合同。
公司不同意签订无固定期限劳动合同的后果：
- 如果公司不同意签订无固定期限劳动合同，而您又符合签订无固定期限劳动合同的条件，那么公司的行为可能构成违法。
- 根据劳动合同法的相关规定，用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
您的权益保护：
- 您有权向公司提出签订无固定期限劳动合同的要求，并保留好相关证据（如劳动合同、续签通知等）。
- 如果公司拒绝，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求公司支付违法不签订无固定期限劳动合同的双倍工资差额，并要求公司签订无固定期限劳动合同。
建议：
- 在与公司沟通时，保持冷静和理性，明确表达您的诉求和依据。
- 保留好所有与劳动合同相关的证据，以备不时之需。
- 如果公司态度强硬，拒绝签订无固定期限劳动合同，您可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地维护自己的合法权益。
后续行动：
- 如果您决定采取法律行动，可以准备相关证据材料，并向当地劳动仲裁委员会提交仲裁申请。
- 在仲裁过程中，您需要详细陈述事实、提供证据，并依据相关法律法规进行辩论。
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