结论：公司以您自行离岗为由辞退您，这一行为可能构成违法解除劳动合同，您有权要求公司支付赔偿金或选择继续履行合同。但具体还需根据请假流程、公司规章制度以及您离岗的实际情况等因素综合判断。

分析如下：

1. 请假流程与规章制度：

   • 首先，您需要确认公司的请假制度是否明确规定了请假的流程、审批权限以及未获批准擅自离岗的后果。如果公司有明确的规章制度，并且您在入职时已经知晓并同意遵守，那么这些规章制度将作为判断公司行为是否合法的重要依据。
   • 如果公司的请假制度不合法、不合理，或者未向您明确告知，那么公司以此为由辞退您可能缺乏合法依据。

2. 自行离岗的合理性：

   • 在您家里老人生病住院的紧急情况下，您可能需要立即离岗以照顾老人。这种情况下，您的自行离岗可能具有一定的合理性，尤其是当您已经尝试与领导沟通但未获批准时。
   • 然而，合理性并不等同于合法性。即使您的离岗行为出于善意和紧急情况，但如果违反了公司的规章制度，公司仍有可能以此为由采取纪律措施。但关键在于，这种纪律措施是否合法、合理，以及是否符合劳动法的相关规定。

3. 公司的辞退行为是否合法：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，公司解除劳动合同必须有合法、合理的理由，并且需要遵循法定的程序。如果公司仅以您自行离岗为由辞退您，而没有考虑您离岗的紧急性和合理性，以及公司请假制度的合法性和合理性，那么公司的行为可能构成违法解除劳动合同。
   • 在这种情况下，您有权要求公司支付赔偿金，赔偿金的标准通常为您在公司工作每满一年支付一个月工资的经济补偿的两倍。或者，如果您希望继续在公司工作，也可以要求公司继续履行劳动合同。

建议：

• 收集证据：首先，您需要收集相关证据，如医院的诊断证明、请假记录、与领导的沟通记录等，以证明您离岗的紧急性和合理性。
• 与公司协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与公司进行协商，解释您离岗的原因和情况，并要求公司撤销辞退决定或支付赔偿金。
• 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。在申请劳动仲裁时，您需要提交相关证据和仲裁申请书等材料。

后续行动：

• 在整个过程中，您需要保持冷静和理性，避免与公司发生不必要的冲突和争执。同时，您也可以咨询我，以获取更具体和专业的法律建议。

如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。