当员工家里出现生病等紧急情况时，公司应当采取合理、善意且人性化的处理方式，以平衡员工个人需求与公司运营需求。以下是一些建议的处理步骤和考虑因素：
一、理解并同情员工情况
首先，公司应表达对员工家庭困境的理解和同情，这是建立良好劳资关系的基础。在得知员工家庭成员生病后，公司可以主动与员工沟通，了解具体情况，包括病情的严重程度、预计的治疗周期以及员工可能需要的时间来照顾家人。
二、灵活处理请假申请
简化请假流程：在紧急情况下，公司可以简化请假流程，允许员工通过电话、微信等便捷方式先进行口头请假，并在事后补交书面请假申请和相关证明材料。
考虑特殊情况：对于员工因家庭成员生病而需要长时间请假的情况，公司应考虑给予特殊处理，如批准无薪事假、调整工作安排或提供远程工作等选项，以减轻员工的负担。
避免机械管理：如参考信息中的案例所示，公司在处理请假申请时，应避免机械地执行规章制度，而应结合实际情况，以人文关怀和同理心对待员工的请假需求。
三、支付病假工资（如适用）
如果员工本人因病需要请假治疗，公司应按照相关法律法规支付病假工资。根据《劳动部关于贯彻执行<中华人民共和国劳动法>若干问题的意见》的规定，职工患病或非因工负伤治疗期间，在规定的医疗期间内，企业应按照有关规定支付其病假工资或疾病救济费，且病假工资或疾病救济费不得低于当地最低工资标准的80%。
四、提供必要支持
心理支持：公司可以提供心理咨询服务或安排心理辅导，帮助员工应对家庭成员生病带来的心理压力。
资源协调：如果公司有能力，可以协助员工联系医疗机构、获取医疗资源或提供其他必要的帮助。
工作调整：根据员工的工作性质和公司运营情况，公司可以考虑调整员工的工作安排，如减轻工作量、调整工作时间或提供临时替代人员等，以确保员工能够有足够的时间照顾家人。
五、保持沟通
在整个过程中，公司应与员工保持密切沟通，及时了解员工的最新情况和需求，并根据实际情况调整处理方案。同时，公司也应向员工明确公司的政策和规定，确保双方对处理方案有共同的理解。
六、遵守法律法规
公司在处理员工家庭成员生病的情况时，必须严格遵守相关法律法规和公司规章制度，确保处理方案的合法性和合规性。如遇到复杂情况或法律疑问，公司应及时咨询专业法律人士或相关部门。
综上所述，当员工家里出现生病等紧急情况时，公司应采取理解、同情、灵活、支持并遵守法律法规的处理方式，以体现公司的人文关怀和责任感，同时维护良好的劳资关系。