关于第二次劳动合同到期后公司是否可以提出不续签的问题，这确实是一个涉及劳动法规定和双方权益的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：

一、基本法律规定

根据《中华人民共和国劳动合同法》，劳动合同期满时，合同自然终止。若双方希望继续维持劳动关系，则需就续签事宜进行协商并达成一致。这是劳动合同到期后的基本处理原则。

二、公司不续签的法律情形及后果

1. 应当续订无固定期限合同的情形：

   • 如果劳动者在用人单位连续工作满十年，或者已经连续订立了二次固定期限劳动合同，并且劳动者没有严重违反用人单位规章制度等特定情形（如《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项所规定的情形），那么当劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同时，除劳动者主动提出订立固定期限劳动合同外，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。
   • 法律后果：若用人单位在这种情况下拒绝续签，则构成违法行为。劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿的计算方式是：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 不符合续订无固定期限合同的情形：

   • 如果劳动者存在严重违反用人单位规章制度等情形，或者用人单位有合理的业务需求、市场状况变化等考虑，决定不续签劳动合同，且这种决定没有违反法律法规，那么用人单位可以不续签。但即便如此，用人单位也需要依法向劳动者支付经济补偿。

3. 降低劳动合同约定条件续订的情况：

   • 如果用人单位提出降低原劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订的，用人单位同样需要支付经济补偿。

三、劳动者不续签的法律情形及后果

• 如果劳动者主动提出不续签劳动合同，且不存在用人单位拖欠工资、未依法缴纳社保等违法违规行为，那么这种情况下一般不违法，用人单位也无需支付经济补偿。
• 如果用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者仍然不同意续订的，劳动合同终止，用人单位同样无需支付经济补偿。

四、建议与决策

• 对于公司而言，在决定是否续签劳动合同时，应充分考虑员工的工作表现、公司业务需求、市场状况等因素，并确保决策过程符合法律法规的要求。
• 对于劳动者而言，在决定是否续签劳动合同时，应充分考虑自己的职业规划、个人发展、薪资待遇等因素，并了解自己的权益和义务。

五、争议解决

• 如果双方因劳动合同续签问题产生争议，应先尝试通过协商来解决。协商无果的，可以向劳动争议仲裁机构申请仲裁，以维护自身的合法权益。

综上所述，第二次劳动合同到期后公司是否可以提出不续签，取决于多种因素，包括是否符合续订无固定期限劳动合同的条件、公司是否降低劳动合同约定条件等。双方应明确各自的权利与义务，并在法律法规的框架内进行处理。如有任何疑问或争议，建议及时咨询专业律师或相关机构以获取准确的法律意见和帮助。