结论前置：当第三次劳动合同到期，用人单位选择不续签时，劳动者通常有权获得相应的经济补偿，若用人单位违法终止劳动合同，则需支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的两倍。以下是详细分析：
一、法律依据与赔偿情形
无固定期限劳动合同的签订：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等情形的，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 若用人单位在此情况下仍选择不续签，则构成违法终止劳动合同。
赔偿情形：
- 经济补偿金：若用人单位合法终止劳动合同（如劳动者主动提出不续签或存在法定解除情形），用人单位需按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 赔偿金：若用人单位违法终止劳动合同（如应签无固定期限合同却终止劳动关系），劳动者除了可以获得上述经济补偿金外，还可以要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。
二、赔偿标准计算
经济补偿金计算：
- 计算基数：月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者工作不满十二个月，则按实际工作的月数计算平均工资。
- 高工资限制：若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高支付年限不超过十二年。
- 计算年限：经济补偿根据劳动者在本单位工作的年限确定，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
赔偿金计算：
- 赔偿金为经济补偿标准的两倍。即按照上述经济补偿的计算方式得出的金额再乘以2。
计算公式：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（受高工资限制影响时，按限制标准计算）
- 赔偿金 = 经济补偿金 × 2
示例：
- 假设劳动者在单位工作了5年，月平均工资为8000元（未超过当地上年度职工月平均工资的三倍），那么经济补偿为5 × 8000 = 40000元，赔偿金则为40000 × 2 = 80000元。
- 若当地上年度职工月平均工资为3000元，三倍为9000元，劳动者月工资12000元，在单位工作15年，由于最高支付年限不超过十二年，经济补偿为12 × 9000 = 108000元，赔偿金则为108000 × 2 = 216000元。
三、特殊情况处理
劳动者主动提出不续签：
- 若劳动者在第三次劳动合同到期后，主动提出不续签或要求签订固定期限劳动合同，而用人单位同意的，则用人单位无需支付赔偿金，但可能仍需支付经济补偿金（具体取决于双方协商结果和当地法律法规）。
劳动者存在法定解除情形：
- 若劳动者存在《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等），用人单位有权不续签劳动合同，并且无需支付经济补偿金或赔偿金。
四、维权途径与建议
保留证据：
- 劳动者应保留好与用人单位签订的劳动合同、工资单、考勤记录等证据，以便在发生争议时维护自己的合法权益。
协商解决：
- 在劳动合同到期前，劳动者可以与用人单位进行协商，就续签劳动合同或赔偿事宜达成一致意见。
申请仲裁或诉讼：
- 如果用人单位拒绝续签劳动合同并拒绝支付赔偿金，劳动者可以向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼。
作为张启阳律师，我建议你根据自身情况，仔细评估用人单位的行为是否构成违法终止劳动合同，并据此主张相应的经济补偿或赔偿金。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。