在支教期间发生工伤事故，既可以由单位上报工伤，也可以由本人或其近亲属上报工伤。以下是对这一问题的详细分析：
一、单位上报工伤
法律依据：
- 根据《工伤保险条例》第十七条，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。
单位责任：
- 单位有义务在规定时间内为受伤职工申请工伤认定，这是单位的法定责任。如果单位未在规定时间内提出工伤认定申请，那么在此期间发生的工伤待遇等有关费用，将由该用人单位负担。
二、本人或近亲属上报工伤
法律依据：
- 同样根据《工伤保险条例》第十七条，如果用人单位未按规定提出工伤认定申请，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
个人权利：
- 工伤职工或其近亲属有权在单位未及时申请的情况下，自行向社会保险行政部门提出工伤认定申请。这是为了保障工伤职工的合法权益，防止因单位拖延或拒绝申请而导致工伤职工无法获得应有的赔偿。
三、实际操作建议
及时沟通：
- 在支教期间发生工伤事故后，首先应及时与所在单位沟通，要求单位尽快为你申请工伤认定。
保留证据：
- 同时，你也应尽可能保留好与工伤事故相关的证据，如医疗记录、事故现场照片、证人证言等，以便在需要时提供给社会保险行政部门进行工伤认定。
自行申请：
- 如果单位未在规定时间内为你申请工伤认定，或者你无法与单位取得联系，你可以自行或委托近亲属在事故伤害发生之日起1年内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。
寻求帮助：
- 在整个过程中，如果你遇到任何困难或疑问，都可以随时向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
总结来说，支教期间发生工伤事故后，你既可以依赖单位来上报工伤，也可以在单位未履行义务时自行或委托近亲属上报。重要的是要确保在规定时间内提出工伤认定申请，并保留好相关证据，以便维护自己的合法权益。