员工向公司提出离职申请后，是否可以立即批准，这主要取决于公司的具体决策以及相关法律法规的规定。

首先，根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条的规定，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。这一条款实际上为劳动者的离职设置了一个预告期，旨在保障用人单位有足够的时间来寻找替代的人力资源，避免因劳动者突然离职而导致工作无法交接，进而影响正常的用工秩序。然而，这一条款也明确指出，劳动者只要作出辞职的意思表示，并提前三十日以书面形式通知，就无需得到用人单位的批准或同意，通知期满后劳动关系即告解除。

但法律并不禁止用人单位放弃这三十日的预告期权利。也就是说，如果用人单位在收到劳动者的离职申请后，认为可以立即安排工作交接，或者有其他合理的考虑，那么用人单位是有权在预告期内同意劳动者离职的。这种情况下，双方的劳动关系将于用人单位作出批准的意思表示时即告解除。

以您提供的案例为例，刘某在提出离职申请后，公司并未等待三十日预告期满，而是在收到申请后的较短时间内就完成了人事审批手续，并同意了刘某的离职申请。这一操作是符合法律规定的，因为法律并未禁止用人单位在预告期内同意劳动者离职。

因此，员工向公司提出离职申请后，是否可以立即批准，主要取决于公司的决策。如果公司认为可以立即安排工作交接，或者有其他合理的考虑，那么公司是有权在预告期内同意员工离职的。当然，为了保障双方的权益，建议公司在同意员工离职时，应明确离职日期、工作交接等事项，并确保员工在离职前完成所有必要的工作交接和手续办理。