向公安局邮寄依法履职申请书，在法律上并没有明确规定一个具体的时效期限。不过，我们可以从几个角度来详细分析这个问题：

1. 申请书的性质与目的：

   • 依法履职申请书，本质上是一种请求行政机关履行其法定职责的书面申请。其目的在于促使公安局等行政机关依法行使职权，保障公民的合法权益。
   • 由于这种申请书并不直接涉及诉讼程序，因此并不受诉讼时效的限制。但申请人仍应尽快提出，以便行政机关能及时处理。

2. 行政机关的处理期限：

   • 虽然法律没有规定申请书的邮寄时效，但行政机关在收到申请书后，通常会在一定的期限内进行审查并作出回应。这个期限可能因地区、具体事项和行政机关的工作流程而有所不同。
   • 如果行政机关在合理期限内未作出回应，申请人可以考虑通过行政复议或行政诉讼等途径来维护自己的权益。

3. 实际操作中的建议：

   • 及时邮寄：为了尽快促使行政机关履行职责，申请人应尽早准备并邮寄依法履职申请书。
   • 保留证据：在邮寄申请书时，建议使用挂号信或快递等可追踪的邮寄方式，并保留好邮寄凭证和申请书副本，以备后续查询和证明之用。
   • 关注处理进展：在邮寄申请书后，申请人可以适时与行政机关联系，了解处理进展情况。如果行政机关长时间未作出回应，申请人可以考虑采取进一步的法律措施。

4. 法律后果的考量：

   • 如果申请人因未及时邮寄申请书而导致其权益受到损害，且这种损害与未及时邮寄之间存在因果关系，那么申请人可能需要自行承担一定的法律后果。
   • 然而，在大多数情况下，只要申请人能够证明其已经及时、合理地提出了申请，且行政机关未依法履行职责，申请人就有权通过法律途径来维护自己的权益。

总结与建议： 虽然法律没有明确规定向公安局邮寄依法履职申请书的时效期限，但申请人仍应尽早准备并邮寄申请书，以便行政机关能及时处理。同时，申请人应保留好相关证据，并关注处理进展情况。如果行政机关长时间未作出回应，申请人可以考虑采取进一步的法律措施来维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。